Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона основания правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна 1 см, а боковое ребро — \(\sqrt{5}\) см. Диагонали боковой грани \(CC_1D_1D\) пересекаются в точке \(M\). Найдите угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\).
Пусть \(A=(0,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(C_1=(1,1,\sqrt{5})\), \(D=(0,1,0)\), \(D_1=(0,1,\sqrt{5})\). Точка \(M\) — середина диагоналей боковой грани, значит \(M=\left(\frac{1}{2},1,\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\).
Вектор \(AM = \left(\frac{1}{2},1,\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\), его проекция на плоскость \(ABC\) (плоскость \(z=0\)) равна \(\left(\frac{1}{2},1,0\right)\).
Угол между \(AM\) и плоскостью равен углу между вектором \(AM\) и его проекцией:
\(\cos \theta = \frac{AM \cdot AM_{proj}}{|AM||AM_{proj}|} = \frac{\frac{1}{4} + 1 + 0}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{5}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{5/4}{\frac{5}{2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Значит угол \(\theta = 45^\circ\).
Рассмотрим правильную призму с основанием квадратом со стороной 1 см и высотой \(AA_1 = \sqrt{5}\). Для удобства введём систему координат так, чтобы основание лежало в плоскости \(xy\) с точками \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(D=(0,1,0)\). Верхние точки призмы имеют координаты \(A_1=(0,0,\sqrt{5})\), \(B_1=(1,0,\sqrt{5})\), \(C_1=(1,1,\sqrt{5})\), \(D_1=(0,1,\sqrt{5})\). Точка \(M\) — это точка пересечения диагоналей боковой грани \(CC_1D_1D\). Диагонали пересекаются в середине, поэтому координаты \(M\) находятся как среднее арифметическое координат концов диагоналей: \(M = \left(\frac{1+0}{2}, 1, \frac{0 + \sqrt{5}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\).
Далее найдём вектор \(AM\), который равен разности координат точки \(M\) и \(A\): \(AM = \left(\frac{1}{2} — 0, 1 — 0, \frac{\sqrt{5}}{2} — 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\). Плоскость основания призмы — это плоскость \(z=0\). Чтобы найти угол между прямой \(AM\) и плоскостью основания, нужно вычислить угол между вектором \(AM\) и его проекцией на эту плоскость. Проекция вектора \(AM\) на плоскость \(z=0\) — это вектор, у которого сохраняются только \(x\) и \(y\) компоненты: \(AM_{proj} = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)\).
Угол \(\theta\) между вектором \(AM\) и плоскостью равен углу между вектором \(AM\) и его проекцией \(AM_{proj}\). По формуле косинуса угла между двумя векторами: \(\cos \theta = \frac{AM \cdot AM_{proj}}{|AM||AM_{proj}|}\). Скалярное произведение векторов равно \(AM \cdot AM_{proj} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0 = \frac{1}{4} + 1 + 0 = \frac{5}{4}\). Длина вектора \(AM\) равна \(|AM| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}\). Длина проекции \(AM_{proj}\) равна \(|AM_{proj}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
Подставим значения в формулу косинуса: \(\cos \theta = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{70}}{4}} = \frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{5}{\sqrt{70}}\). Упростим \(\frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{5}{\sqrt{70}}\). Но для точного значения можно заметить, что \(\sqrt{70} = \sqrt{7 \cdot 10} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{10}\), и численно это примерно равно 8.3666, тогда \(\cos \theta \approx \frac{5}{8.3666} \approx 0.598\), что соответствует углу около \(53^\circ\). Однако в изначальном решении было \(45^\circ\), значит нужно проверить вычисления.
Пересчитаем длину \(AM\): \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\), \(1^2 = 1\), \(\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\). Сумма: \(\frac{1}{4} + 1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{6}{4} + 1 = \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\). Значит \(|AM| = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\).
Тогда \(\cos \theta = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{50}}{4}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Следовательно, угол \(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).
