ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 96 см², а площадь полной поверхности — 128 см². Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \(128 = 96 + 2S_{осн}\).

Отсюда площадь основания: \(2S_{осн} = 32 \Rightarrow S_{осн} = 16\).

Основание — квадрат, значит сторона \(a = \sqrt{16} = 4\) см.

Периметр основания: \(P = 4a = 16\) см.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: \(96 = 16 \cdot h\).

Отсюда высота \(h = \frac{96}{16} = 6\) см.

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований, так как призма имеет две одинаковые базы. Запишем это в виде уравнения: \( S_{п.п.} = S_{бок.} + 2S_{осн} \). Из условия задачи известно, что \( S_{п.п.} = 128 \) см² и \( S_{бок.} = 96 \) см². Подставим эти значения в уравнение: \( 128 = 96 + 2S_{осн} \). Выразим площадь основания: \( 2S_{осн} = 128 — 96 = 32 \), значит \( S_{осн} = \frac{32}{2} = 16 \) см².

Основание призмы — правильный четырёхугольник, то есть квадрат, поэтому площадь основания равна квадрату стороны: \( S_{осн} = a^{2} \). Подставим найденное значение площади основания: \( 16 = a^{2} \). Найдём длину стороны основания, извлекая квадратный корень: \( a = \sqrt{16} = 4 \) см. Зная сторону основания, можно найти периметр основания, который равен сумме всех четырёх сторон квадрата: \( P = 4a = 4 \times 4 = 16 \) см.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: \( S_{бок.} = P \cdot h \). Подставим известные значения: \( 96 = 16 \cdot h \). Выразим высоту: \( h = \frac{96}{16} = 6 \) см. Таким образом, высота призмы равна 6 см.