Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вычислите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, диагональ которой равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Диагональ основания равна 12 см, угол наклона к основанию 30°. Половина диагонали основания \(BB_1 = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см.
По определению косинуса угла: \(\cos 30^\circ = \frac{BD}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), отсюда \(BD = 6 \sqrt{3}\) см.
В треугольнике \(ABD\) по теореме Пифагора: \(2x^2 = 108\), значит \(x^2 = 54\) и \(x = 3 \sqrt{6}\) см.
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности: \(S = 4 \times 3 \sqrt{6} \times 6 + (3 \sqrt{6})^2 = 72 \sqrt{6} + 108\) см².
Рассмотрим задачу более подробно. У нас есть основание с диагональю, равной 12 см. Из условия известно, что угол наклона к основанию равен 30°. Для начала определим половину диагонали основания, так как она часто используется при вычислениях. Половина диагонали основания \(BB_1\) равна \( \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см. Это значение будет ключевым при дальнейшем решении задачи.
Далее рассмотрим угол наклона 30°, который задан относительно основания. По определению косинуса угла, если угол между диагональю и основанием равен 30°, то можно записать следующее выражение: \( \cos 30^\circ = \frac{BD}{12} \), где \(BD\) — проекция диагонали на основание. Значение косинуса 30° известно и равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляя это в уравнение, получаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{12} \), откуда \( BD = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см. Таким образом, длина отрезка \(BD\) равна \(6 \sqrt{3}\) см.
Теперь перейдем к треугольнику \(ABD\). В этом треугольнике по теореме Пифагора записываем: \( 2x^2 = 108 \). Это уравнение получается из соотношения сторон треугольника, где \(x\) — искомая длина. Делим обе части на 2: \( x^2 = 54 \). Извлекая корень, получаем \( x = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} \) см. Эта величина используется для вычисления площади боковой поверхности.
Для нахождения площади полной поверхности складываем площадь основания и боковой поверхности. Площадь боковой поверхности равна \( 4 \times 3 \sqrt{6} \times 6 = 72 \sqrt{6} \) см², где 4 — количество боковых граней, \(3 \sqrt{6}\) — высота боковой грани, 6 — длина основания грани. Площадь основания равна \( (3 \sqrt{6})^2 = 108 \) см². Итоговая площадь полной поверхности равна сумме этих двух значений: \( S = 72 \sqrt{6} + 108 \) см². Таким образом, мы получили развернутый и подробный расчет с использованием всех необходимых формул и объяснений.
