ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Дано: \(B_1D = 5 \text{ см}\), \(C_1D = 4 \text{ см}\).

Найти площадь полной поверхности \(S_{\text{п.п.}}\).

1. Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:
\(S_{\text{п.п.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}\).

2. Найдём стороны треугольников:
\(B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2 = 25 = BB_1^2 + 2BD^2\),
\(C_1D^2 = CD^2 + EC_1^2 = 16\).

3. Из условия:
\(EDB^2 = 9 \Rightarrow EDB = 3 \text{ см}\),
\(BD = 3\sqrt{2} \text{ см}\),
\(BB_1 = \sqrt{25 — 18} = \sqrt{7} \text{ см}\).

4. Подсчёт площади:
\(S_{\text{п.п.}} = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 2 \cdot 3^2 = 12\sqrt{7} + 18 \text{ см}^2\).

Ответ: \(S_{\text{п.п.}} = 12\sqrt{7} + 18 \text{ см}^2\).

Для начала определим, что нам нужно найти площадь полной поверхности призмы, обозначенную как \(S_{\text{п.п.}}\). Площадь полной поверхности состоит из суммы площадей двух оснований и боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности призмы имеет вид: \(S_{\text{п.п.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}\). Здесь \(S_{\text{осн.}}\) — площадь основания, а \(S_{\text{бок.}}\) — площадь боковой поверхности.

Далее рассмотрим геометрические элементы фигуры. Из условия задачи известно, что длина ребра \(B_1D\) равна 5 см, а длина ребра \(C_1D\) равна 4 см. Для нахождения площади основания и боковой поверхности нам нужно определить длины других отрезков, входящих в эти фигуры. Используем теорему Пифагора для треугольников, образованных в призме. Для ребра \(B_1D\) имеем равенство: \(B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2 = 25\). При этом известно, что \(BD^2 = 2 \cdot ED^2\), где \(ED\) — высота треугольника, равная 3 см, так как \(ED^2 = 9\). Следовательно, \(BD = 3\sqrt{2}\) см. Подставляя это в уравнение, находим \(BB_1 = \sqrt{25 — 18} = \sqrt{7}\) см.

Теперь, когда известны все необходимые длины, можно вычислить площадь боковой поверхности и площади оснований. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырех боковых прямоугольников с размерами, зависящими от найденных длин ребер. В итоге площадь полной поверхности вычисляется как \(S_{\text{п.п.}} = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 2 \cdot 3^2 = 12\sqrt{7} + 18\) см². Этот результат складывается из произведения количества боковых граней на соответствующие размеры и удвоенной площади основания, что даёт полную площадь поверхности призмы.