ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности — 288 см². Найдите сторону основания и высоту призмы.

Площадь шестиугольника: \(6 \cdot cdB \cdot edd_1 = 288\)

\(cdB \cdot edd_1 = 48\)

По теореме Пифагора: \(edd_1^2 + cdB^2 = 100\)

Подставим \(cdB = \frac{48}{edd_1}\):

\(edd_1^2 + \left(\frac{48}{edd_1}\right)^2 = 100\)

\(edd_1^2 + \frac{2304}{edd_1^2} = 100\)

\(edd_1^4 — 100edd_1^2 + 2304 = 0\)

Дискриминант: \(100^2 — 4 \cdot 2304 = 10000 — 9216 = 784\)

\(edd_1^2 = \frac{100 \pm 28}{2}\)

\(edd_1^2 = \frac{72}{2} = 36\)

\(edd_1 = 6\)

\(cdB = \frac{48}{6} = 8\)

Ответ: \(edd_1 = 6\,\text{см}\), \(cdB = 8\,\text{см}\)

В задаче дан правильный шестиугольник, площадь которого составляет \(288\,\text{см}^2\). Формула площади правильного шестиугольника, составленного из шести равных треугольников, записывается как произведение количества треугольников на их площадь: \(6 \cdot cdB \cdot edd_1\), где \(cdB\) и \(edd_1\) — длины катетов одного из треугольников. Подставляя известное значение площади, получаем уравнение: \(6 \cdot cdB \cdot edd_1 = 288\). Делим обе части на 6: \(cdB \cdot edd_1 = 48\). Это первое ключевое уравнение, связывающее два искомых отрезка.

Далее используем теорему Пифагора, поскольку каждый треугольник — прямоугольный, а сторона правильного шестиугольника равна гипотенузе такого треугольника. Пусть длина стороны шестиугольника равна \(10\,\text{см}\), тогда по теореме Пифагора: \(edd_1^2 + cdB^2 = 10^2\), то есть \(edd_1^2 + cdB^2 = 100\). Теперь выразим один катет через другой с помощью первого уравнения: \(cdB = \frac{48}{edd_1}\). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем: \(edd_1^2 + \left(\frac{48}{edd_1}\right)^2 = 100\). Раскроем скобки: \(edd_1^2 + \frac{2304}{edd_1^2} = 100\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на \(edd_1^2\): \(edd_1^4 + 2304 = 100edd_1^2\).

Получили квадратное уравнение относительно \(edd_1^2\): \(edd_1^4 — 100edd_1^2 + 2304 = 0\). Обозначим \(x = edd_1^2\), тогда уравнение принимает вид \(x^2 — 100x + 2304 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-100)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 — 9216 = 784\). Найдём корни: \(x_1 = \frac{100 + 28}{2} = 64\), \(x_2 = \frac{100 — 28}{2} = 36\). Так как длина не может быть отрицательной, берём положительный корень: \(edd_1^2 = 36\), значит \(edd_1 = 6\).

Теперь найдём второй катет: \(cdB = \frac{48}{edd_1} = \frac{48}{6} = 8\). Проверим по теореме Пифагора: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), что совпадает с длиной стороны шестиугольника в квадрате. Таким образом, оба условия задачи выполнены. Окончательный ответ: \(edd_1 = 6\,\text{см}\), \(cdB = 8\,\text{см}\).