ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна \(4\sqrt{2}\) см, а высота призмы — 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Длина диагонали основания \(BD = a \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8\) см.

Длина диагонали призмы \(B_1D = \sqrt{h^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) см.

Половина диагонали призмы \(KO = \frac{10}{2} = 5\) см.

Площадь сечения \(S = \frac{1}{2} \times BD \times KO = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20\) см².

1. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна \(a = 4\sqrt{2}\) см. Основание — квадрат, поэтому диагональ основания \(BD\) найдём по формуле диагонали квадрата: \(BD = a \sqrt{2}\). Подставляя значение, получаем \(BD = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8\) см.

2. Высота призмы \(h = 6\) см. Рассмотрим диагональ призмы \(B_1D\), которая соединяет вершину верхнего основания с противоположной вершиной нижнего основания. Длина этой диагонали вычисляется по теореме Пифагора: \(B_1D = \sqrt{h^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см.

3. Найдём половину диагонали призмы \(KO\), так как сечение проходит через середину диагонали: \(KO = \frac{B_1D}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.

4. Площадь сечения — это площадь треугольника \(CKO\), где основание равно диагонали основания \(CD = BD = 8\) см, а высота равна половине диагонали призмы \(KO = 5\) см. Площадь вычисляется по формуле площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times CD \times KO = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20\) см².