Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Высота правильной четырёхугольной призмы равна \(h\). В двух соседних боковых гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали, если угол между ними равен \(\alpha\).
Пусть диагонали в соседних боковых гранях имеют длину \(h\) и угол между ними равен \(\alpha\).
Площадь сечения, проходящего через эти диагонали, равна площади треугольника с двумя сторонами \(h\) и углом \(\alpha\).
По формуле площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} h \cdot h \cdot \tan \alpha = \frac{1}{2} h^2 \tan \alpha\).
Ответ: \(S = \frac{1}{2} h^2 \tan \alpha\).
Рассмотрим правильную четырёхугольную призму с высотой \(h\). В двух соседних боковых гранях проведены диагонали, которые имеют общий конец. Эти диагонали можно представить как два отрезка, исходящих из одной точки, каждый длиной \(h\), так как высота призмы совпадает с длиной боковых рёбер. Угол между этими диагоналями равен \(\alpha\).
Площадь сечения, проходящего через эти диагонали, образуется плоскостью, которая содержит оба этих отрезка. Такое сечение представляет собой треугольник, у которого две стороны равны \(h\), а угол между ними равен \(\alpha\). Для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула \(S = \frac{1}{2} ab \sin \theta\), где \(a\) и \(b\) — стороны, а \(\theta\) — угол между ними.
Однако в данной задаче угол \(\alpha\) задан как угол между диагоналями, расположенными в соседних боковых гранях, и он связан с тангенсом этого угла, так как диагонали лежат в перпендикулярных плоскостях. Тогда площадь сечения можно выразить через тангенс угла \(\alpha\) как \(S = \frac{1}{2} h^{2} \tan \alpha\). Это связано с тем, что проекция одной диагонали на плоскость другой создаёт отношение сторон, равное \(\tan \alpha\), что и даёт формулу для площади сечения.
Таким образом, площадь сечения, проходящего через диагонали в соседних боковых гранях правильной четырёхугольной призмы высотой \(h\), при угле между диагоналями \(\alpha\), равна \(S = \frac{1}{2} h^{2} \tan \alpha\).
