Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Каждое ребро наклонной призмы \(ABC A_1B_1C_1\) равно \(a\). Ребро \(AA_1\) образует с каждым из рёбер \(AB\) и \(AC\) угол, равный 45°.
1) Докажите, что \(AA_1 \perp BC\).
2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Так как угол между \(AA_1\) и \(AB\), а также между \(AA_1\) и \(AC\) равен 45°, то угол между \(AA_1\) и плоскостью \(ABC\) равен 45°. Следовательно, \(AA_1\) перпендикулярно \(BC\).
Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: \(S_{\text{бок}} = P_{ABC} \cdot AA_1\). Периметр основания равен \(a + a\sqrt{2}\), высота \(AA_1 = a\), значит \(S_{\text{бок}} = a^2 + a^2 \sqrt{2}\).
Рассмотрим призму \(ABC A_1 B_1 C_1\), у которой все ребра равны \(a\), а ребро \(AA_1\) наклонено так, что образует с ребрами \(AB\) и \(AC\) одинаковый угол 45°. Поскольку углы между \(AA_1\) и \(AB\), а также между \(AA_1\) и \(AC\) равны, это означает, что проекция вектора \(AA_1\) на плоскость основания лежит на биссектрисе угла \(BAC\). Угол между вектором \(AA_1\) и плоскостью \(ABC\) равен 45°, так как угол между \(AA_1\) и любым из ребер основания, лежащих в плоскости, равен 45°. Следовательно, \(AA_1\) перпендикулярен к линии пересечения плоскости, проходящей через \(AA_1\), и плоскости основания. Эта линия пересечения — прямая \(BC\), так как \(BC\) является стороной треугольника основания, которая перпендикулярна биссектрисе угла \(BAC\). Таким образом, \(AA_1 \perp BC\).
Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно вычислить сумму площадей трёх боковых граней, каждая из которых является параллелограммом с одной стороной \(a\) (ребро основания) и высотой, равной длине ребра \(AA_1\). Поскольку все ребра равны \(a\), высота призмы также равна \(a\). Периметр основания \(ABC\) равен сумме длин сторон \(AB\), \(BC\) и \(CA\). Из условия и геометрии треугольника следует, что \(AB = a\), \(AC = a\), а \(BC = a \sqrt{2}\), так как треугольник является прямоугольным с углом 45°. Тогда периметр основания равен \(P_{ABC} = a + a + a \sqrt{2} = 2a + a \sqrt{2}\).
Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы, то есть \(S_{\text{бок}} = P_{ABC} \cdot AA_1\). Подставляя значения, получаем \(S_{\text{бок}} = (2a + a \sqrt{2}) \cdot a = 2a^2 + a^2 \sqrt{2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(2a^2 + a^2 \sqrt{2}\).
