Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Каждое ребро наклонной призмы \(ABC A_1B_1C_1\) равно \(a\), проекцией точки \(A\) на плоскость \(ABC\) является центр треугольника \(ABC\).
1) Докажите, что грань \(BB_1C_1C\) является прямоугольником.
2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Грань \(BB_1C_1C\) — прямоугольник, так как \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны и перпендикулярны основанию, а угол между ребром основания \(BC\) и ребром \(BB_1\) равен \(90^\circ\).
Высота призмы равна \(h = a \frac{\sqrt{3} + 1}{3}\), где \(a\) — сторона основания. Это связано с тем, что проекция вершины \(A_1\) на плоскость основания совпадает с центром треугольника.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх боковых прямоугольников: \(S_{\text{бок}} = 3 \cdot a \cdot h = 3a \cdot a \frac{\sqrt{3} + 1}{3} = a^{2} (\sqrt{3} + 1)\).
Рассмотрим грань \(BB_1C_1C\) призмы. Из условия известно, что ребра \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны, а угол между ребром \(BC\) основания и ребром \(BB_1\) равен \(90^\circ\). Это означает, что ребра \(BB_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны плоскости основания, и, следовательно, грань \(BB_1C_1C\) является прямоугольником. Поскольку противоположные стороны этой грани параллельны и равны, а угол между ними прямой, то по определению это параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.
Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно вычислить сумму площадей трёх боковых граней. Каждая из боковых граней является прямоугольником с одной стороной равной \(a\) — стороне основания, а второй стороной — высотой призмы, которую обозначим \(h\). Высота призмы — это расстояние между основаниями, которое можно определить через заданные параметры. По условию, высота связана с длиной ребра и равна \(h = a \frac{\sqrt{3} + 1}{3}\), что учитывает положение верхнего основания относительно центра треугольника основания.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх прямоугольников, то есть \(S_{\text{бок}} = 3 \cdot a \cdot h\). Подставляя выражение для высоты, получаем \(S_{\text{бок}} = 3a \cdot a \frac{\sqrt{3} + 1}{3} = a^{2} (\sqrt{3} + 1)\). Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна \(a^{2} (\sqrt{3} + 1)\), что является точным выражением через сторону основания \(a\).
