ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро наклонной призмы \(ABC A_1B_1C_1\) равно \(a\), проекцией точки \(A\) на плоскость \(ABC\) является центр треугольника \(ABC\).

1) Докажите, что грань \(BB_1C_1C\) является прямоугольником.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Доказательство:
Так как \(BB_1, CC_1, AA_1\) — параллельны и угол между ними \(90^\circ\), то \(BB_1, CC_1, AA_1\) образуют прямоугольник.

Площадь боковой поверхности:
\(S_{бок. пов.} = 3a \cdot a + a \cdot \sqrt{3} \cdot a = a^2 \sqrt{3} + a^2\)

Для доказательства того, что грани \(BB_1, CC_1, AA_1\) образуют прямоугольник, рассмотрим расположение этих ребер в пространстве. По условию задачи, они являются параллельными и перпендикулярными основаниям призмы, а также угол между ними равен \(90^\circ\). Это означает, что если провести через каждую вершину основания призмы соответствующее ребро вверх, то полученные точки будут лежать на одной плоскости, которая пересекает призму под прямым углом к основанию. Следовательно, полученная боковая грань будет иметь форму прямоугольника, так как противоположные стороны равны и углы между ними прямые.

Для вычисления площади боковой поверхности призмы нужно определить площадь каждой из боковых граней и сложить их. В данном случае основание призмы — правильный треугольник со стороной \(a\). Высота призмы также равна \(a\), так как все боковые ребра равны. Каждая боковая грань является прямоугольником со сторонами \(a\) и высотой призмы \(a\). Таких граней три, поэтому их суммарная площадь равна \(3a \cdot a = 3a^{2}\). Однако, если призма не правильная, а, например, наклонная, то одна из граней может иметь длину, отличающуюся от \(a\), например, \(a\sqrt{3}\), если это боковое ребро, выходящее из вершины основания под углом.

Итак, окончательная формула площади боковой поверхности призмы включает сумму площадей всех боковых граней: две грани имеют площадь \(a^{2}\), а одна грань — \(a \cdot a\sqrt{3} = a^{2}\sqrt{3}\). Итоговая площадь боковой поверхности равна \(a^{2} + a^{2} + a^{2}\sqrt{3} = 2a^{2} + a^{2}\sqrt{3}\), что можно записать как \(a^{2}\sqrt{3} + a^{2}\).