Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.45 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием призмы \(ABC A_1B_1C_1\) является равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), боковые грани призмы — квадраты. Найдите угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\).
Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(AC = BC = a\).
Координаты точек: \(C(0,0,0)\), \(A(a,0,0)\), \(B(0,a,0)\), \(C_1(0,0,a)\), \(B_1(0,a,a)\).
Векторы: \(\overrightarrow{AC_1} = (-a,0,a)\), \(\overrightarrow{CB_1} = (0,a,a)\).
Скалярное произведение \(\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{CB_1} = a^2\).
Длины векторов: \(|\overrightarrow{AC_1}| = a \sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CB_1}| = a \sqrt{2}\).
Угол \(\theta\) между векторами: \(\cos \theta = \frac{a^2}{a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
Значит, \(\theta = 60^\circ\).
Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\), где катеты \(AC\) и \(BC\) равны между собой и обозначены как \(a\). Это значит, что треугольник \(ABC\) имеет стороны \(AC = BC = a\) и гипотенузу \(AB = a \sqrt{2}\) по теореме Пифагора. Для удобства анализа задачи выберем систему координат так, чтобы точка \(C\) находилась в начале координат, а стороны \(AC\) и \(BC\) лежали вдоль осей \(x\) и \(y\) соответственно. Тогда координаты вершин будут: \(C(0, 0, 0)\), \(A(a, 0, 0)\), \(B(0, a, 0)\).
Поскольку боковые грани призмы — квадраты, высота призмы равна стороне основания \(a\). Верхние вершины призмы находятся на высоте \(a\) над основанием, то есть \(A_1(a, 0, a)\), \(B_1(0, a, a)\), \(C_1(0, 0, a)\). Теперь рассмотрим прямые \(AC_1\) и \(CB_1\). Вектор, задающий прямую \(AC_1\), равен разности координат \(C_1\) и \(A\), то есть \(\overrightarrow{AC_1} = (0 — a, 0 — 0, a — 0) = (-a, 0, a)\). Аналогично, вектор прямой \(CB_1\) равен \(\overrightarrow{CB_1} = (0 — 0, a — 0, a — 0) = (0, a, a)\).
Для нахождения угла между двумя векторами используется формула косинуса угла: \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|}\), где \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\overrightarrow{u}|\), \(|\overrightarrow{v}|\) — их длины. Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC_1}\) и \(\overrightarrow{CB_1}\) равно \((-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^{2}\). Длины векторов: \(|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{(-a)^{2} + 0^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CB_1}| = \sqrt{0^{2} + a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}\).
Подставляя эти значения в формулу для косинуса угла, получаем \(\cos \theta = \frac{a^{2}}{a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2}} = \frac{a^{2}}{2 a^{2}} = \frac{1}{2}\). Следовательно, угол \(\theta\), образуемый прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\), равен \(\arccos \frac{1}{2} = 60^{\circ}\).
