ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.46 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(BC\) и \(AD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что четырёхугольник \(BEDF\) — параллелограмм.

В параллелограмме \(ABCD\) точка \(O\) — середина диагоналей, значит \(BO = OD\) и \(EO = OF\).

Поскольку точки \(E\) и \(F\) лежат на прямой через \(O\), то отрезки \(BE\) и \(DF\) равны и параллельны.

Следовательно, \(BEDF\) — параллелограмм.

В параллелограмме \(ABCD\) точка пересечения диагоналей \(O\) обладает важным свойством: она делит диагонали пополам. Это означает, что \(O\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\), поэтому выполняются равенства \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Эти равенства играют ключевую роль в доказательстве, так как позволяют использовать симметрию и свойства параллелограмма для построения новых равенств и параллельностей.

Через точку \(O\) проведена прямая, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\) и сторону \(AD\) в точке \(F\). Поскольку \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой, проходящей через \(O\), то отрезки \(EO\) и \(OF\) являются частями этой прямой. Используя свойства параллелограмма и равенство отрезков, можно утверждать, что \(EO = OF\), так как \(O\) находится между \(E\) и \(F\) и делит этот отрезок на две части. Это условие помогает установить равенство и параллельность сторон четырёхугольника \(BEDF\).

Из равенств \(BO = OD\) и \(EO = OF\) следует, что противоположные стороны четырёхугольника \(BEDF\) равны и параллельны. В частности, отрезки \(BE\) и \(DF\) равны и параллельны, а также отрезки \(ED\) и \(BF\) обладают такими же свойствами. Это и есть определение параллелограмма, поэтому четырёхугольник \(BEDF\) является параллелограммом.