Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.47 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Большая диагональ ромба равна \(d\), а его острый угол равен \(\alpha\). Найдите:
1) сторону ромба;
2) меньшую диагональ ромба;
3) площадь ромба;
4) радиус окружности, вписанной в ромб.
Сторона ромба \(a\) равна \(a = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\) потому что диагональ делится пополам, а угол между стороной и половиной диагонали равен \(\frac{\alpha}{2}\).
Меньшая диагональ \(d_1\) найдена через теорему Пифагора и выражается как \(d_1 = d \tan \frac{\alpha}{2}\).
Площадь ромба \(S\) равна половине произведения диагоналей, значит \(S = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\).
Радиус вписанной окружности \(r\) равен отношению площади к полупериметру, что даёт \(r = \frac{d}{2} \sin \frac{\alpha}{2}\).
Сторона ромба \(a\) вычисляется из того, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина большей диагонали равна \( \frac{d}{2} \). Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и стороной ромба. Угол между стороной ромба и половиной диагонали равен \( \frac{\alpha}{2} \), где \( \alpha \) — острый угол ромба. Используя косинус этого угла, получаем равенство \( \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{d}{2}}{a} \), откуда следует, что \( a = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \). Таким образом, сторона ромба выражается через известную большую диагональ и угол.
Для нахождения меньшей диагонали \( d_1 \) применяем теорему Пифагора к треугольнику, образованному половинами диагоналей, так как диагонали ромба перпендикулярны. Из равенства \( a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 \) выразим \( d_1 \): \( d_1^2 = 4a^2 — d^2 \). Подставляя найденное выражение для \( a \), получаем \( d_1^2 = d^2 \left( \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} — 1 \right) \), что равно \( d^2 \tan^2 \frac{\alpha}{2} \). Следовательно, \( d_1 = d \tan \frac{\alpha}{2} \).
Площадь ромба \( S \) вычисляется как половина произведения диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d d_1 \). Подставляя найденное значение \( d_1 \), получаем \( S = \frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \). Радиус вписанной окружности \( r \) находится как отношение площади ромба к полупериметру. Периметр ромба равен \( 4a \), полупериметр — \( 2a \). Подставляя \( a \), вычисляем \( r = \frac{S}{2a} = \frac{\frac{d^2}{2} \tan \frac{\alpha}{2}}{2 \cdot \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}} = \frac{d}{2} \sin \frac{\alpha}{2} \).
