Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер — числом, кратным 3.
Пусть есть n-угольная призма.
Число вершин равно \(2n\), так как призма состоит из двух n-угольников, соединённых параллельным переносом. Значит, количество вершин чётное.
Число рёбер равно \(n + n + n = 3n\), так как у каждого основания по \(n\) рёбер и ещё \(n\) рёбер между основаниями. Значит, количество рёбер кратно 3.
Пусть есть n-угольная призма.
1. Призма получается параллельным переносом n-угольника, то есть она состоит из двух одинаковых оснований — двух n-угольников, расположенных параллельно друг другу.
2. Каждое основание содержит ровно n вершин. При параллельном переносе вершины второго основания совпадают по количеству с вершинами первого, но не совпадают с ними по положению.
3. Следовательно, общее число вершин призмы равно \(2n\). Поскольку \(2n\) — это произведение числа 2 и натурального числа n, число вершин чётное.
4. Теперь рассмотрим рёбра призмы. В каждом основании n рёбер, итого \(n + n = 2n\) рёбер для двух оснований.
5. Кроме того, призма содержит рёбра, соединяющие соответствующие вершины двух оснований. Таких рёбер ровно n.
6. Общее число рёбер равно сумме рёбер оснований и боковых рёбер, то есть \(n + n + n = 3n\).
7. Поскольку \(3n\) — произведение числа 3 и натурального числа n, число рёбер кратно 3.
Таким образом, в любой n-угольной призме число вершин равно \(2n\) — чётное число, а число рёбер равно \(3n\) — число, кратное 3.
