ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь поверхности куба равна 216 см². Найдите площадь его диагонального сечения.

Дано \( S_{\text{пов}} = 216 \, \text{см}^2 \). Площадь поверхности куба равна \( 6a^2 \), значит \( 6a^2 = 216 \), откуда \( a^2 = \frac{216}{6} = 36 \), следовательно \( a = 6 \, \text{см} \).

Площадь диагонального сечения куба равна \( a^2 \sqrt{2} \), подставляем \( a = 6 \): \( 6^2 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \).

Ответ: \( 36 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \).

1. Дано: площадь поверхности куба \( S_{\text{пов}} = 216 \, \text{см}^2 \).

2. Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех 6 граней, то есть \( S_{\text{пов}} = 6a^2 \), где \( a \) — длина ребра куба.

3. Подставляем известное значение: \( 6a^2 = 216 \).

4. Находим \( a^2 \): \( a^2 = \frac{216}{6} = 36 \).

5. Извлекаем корень: \( a = \sqrt{36} = 6 \, \text{см} \).

6. Диагональное сечение куба — это ромб, стороны которого равны ребру куба \( a \), а угол между сторонами равен 60°.

7. Площадь ромба вычисляется по формуле \( S = a^2 \sin 60^\circ \).

8. Значение \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( S = 6^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

9. Однако диагональное сечение куба — это квадрат, повернутый под углом, и его площадь равна \( a^2 \sqrt{2} \).

10. Подставляем \( a = 6 \): \( S = 6^2 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \).

Ответ: \( 36 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \).