ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом \(\alpha\) и меньшей диагональю \(d\). Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание — ромб со стороной \(x\) и меньшей диагональю \(d\). Из треугольника с углом \(\beta\) получаем высоту \(BB_1 = d \tan \beta\).

Из равенства диагоналей ромба: \(d^2 + 2x^2 = d^2 / \cos^2 \beta\), откуда \(2x^2 = d^2 (1 — \tan^2 \beta)\), значит \(x = d \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}}\).

Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: \(S = 4x \cdot BB_1 = 4 d \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \cdot d \tan \beta = 4 d^2 \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \cdot \tan \beta\).

1. Обозначим высоту параллелепипеда \(BB_1\), меньшую диагональ основания \(el = d\), сторону ромба основания \(x\).

2. Из треугольника \(BB_1D\) с углом \(\beta\) получаем \( \tan \beta = \frac{BB_1}{el} \), откуда \( BB_1 = el \cdot \tan \beta \).

3. Рассмотрим проекцию диагонали \(OB_1\) на основание. По теореме Пифагора в треугольнике \(OB_1\) имеем \( OB_1^2 = BB_1^2 + 2x^2 \).

4. Из условия диагонали ромба: \(OB_1 = el\), значит \( el^2 = BB_1^2 + 2x^2 \).

5. Подставляем \(BB_1 = el \cdot \tan \beta\), получаем \( el^2 = el^2 \tan^2 \beta + 2x^2 \).

6. Выражаем \(x^2\): \( 2x^2 = el^2 (1 — \tan^2 \beta) \), значит \( x = el \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \).

7. Периметр основания ромба равен \( P = 4x = 4 el \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \).

8. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{\text{бок}} = P \cdot BB_1 \).

9. Подставляем значения: \( S_{\text{бок}} = 4 el \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \cdot el \tan \beta \).

10. Итог: \( S_{\text{бок}} = 4 el^2 \sqrt{\frac{1 — \tan^2 \beta}{2}} \cdot \tan \beta \).