ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ основания \(d_1 = 6 \sin 60^\circ = 3 \sqrt{3}\) см. Большая диагональ основания \(d_2 = 6 \sqrt{3}\) см.

Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания, значит высота \(ed_1 = 6 \sqrt{3}\) см.

Диагональ боковой грани \(cd_{id_1} = \sqrt{ed_1^2 — cd^2} = \sqrt{108 — 36} = 6 \sqrt{2}\) см.

Периметр основания \(P = 4 \times 6 = 24\) см.

Площадь боковой поверхности \(S = P \times cd_{id_1} = 24 \times 6 \sqrt{2} = 144 \sqrt{2}\) см².

1. Основание параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

2. Найдём меньшую диагональ основания \(d_1\). В треугольнике, образованном половинами диагоналей, угол при центре равен \(30^\circ\). Тогда \(d_1 = 6 \sin 60^\circ = 3 \sqrt{3}\) см.

3. Большая диагональ основания \(d_2\) в два раза больше половины, то есть \(d_2 = 6 \sqrt{3}\) см.

4. По условию, меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания, значит высота параллелепипеда \(ed_1 = 6 \sqrt{3}\) см.

5. Рассчитаем диагональ боковой грани \(cd_{id_1}\) по формуле Пифагора: \(cd_{id_1} = \sqrt{ed_1^{2} — cd^{2}} = \sqrt{(6 \sqrt{3})^{2} — 6^{2}} = \sqrt{108 — 36} = 6 \sqrt{2}\) см.

6. Периметр основания равен \(P = 4 \times 6 = 24\) см.

7. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: \(S = P \times cd_{id_1} = 24 \times 6 \sqrt{2} = 144 \sqrt{2}\) см².