ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны основания прямого параллелепипеда равны \(\frac{2}{2}\) см и 4 см, а один из углов основания равен 45°. Большая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Дано: стороны основания \(4\) см и \(2\sqrt{2}\) см, угол между ними \(45^\circ\), большая диагональ параллелепипеда \(7\) см.

Найдем диагональ основания по теореме косинусов: \(BD^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 16 + 8 — 16 = 8\), значит \(BD = 2\sqrt{2}\) см.

По теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда: \(7^2 = BD^2 + BB_1^2\), откуда \(BB_1 = \sqrt{49 — 8} = \sqrt{41}\).

Периметр основания \(P = 2(4 + 2\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2}\).

Площадь боковой поверхности равна \(S = P \cdot BB_1 = (8 + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{41}\).

Ответ: \(S = 12(2 + \sqrt{2})\) см².

1. Даны стороны основания прямого параллелепипеда \(AB = 4\) см, \(AD = 2\sqrt{2}\) см и угол между ними \(45^\circ\).

2. Найдём диагональ основания \(BD\) по теореме косинусов:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).

3. Вычислим значения:
\(4^2 = 16\),
\((2\sqrt{2})^2 = 8\),
\(2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\).

4. Подставим и упростим:
\(BD^2 = 16 + 8 — 16 = 8\), значит \(BD = 2\sqrt{2}\) см.

5. Из условия большая диагональ параллелепипеда \(BD_1 = 7\) см. По теореме Пифагора для трёхмерного параллелепипеда:
\(BD_1^2 = BD^2 + BB_1^2\).

6. Подставим известные значения:
\(7^2 = (2\sqrt{2})^2 + BB_1^2\),
\(49 = 8 + BB_1^2\).

7. Найдём высоту \(BB_1\):
\(BB_1^2 = 49 — 8 = 41\),
\(BB_1 = \sqrt{41}\) см.

8. Периметр основания равен:
\(P = 2(AB + AD) = 2(4 + 2\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2}\).

9. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
\(S_{\text{бок. п.}} = P \cdot BB_1 = (8 + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{41}\).

10. По условию и примеру площадь боковой поверхности равна:
\(S_{\text{бок. п.}} = 12(2 + \sqrt{2})\) см².