ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и \(2\sqrt{3}\) см, а один из углов основания равен 30°. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь основания равна \( S = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 2\sqrt{3} \).

Длина диагонали основания \( BD \) найдена по формуле \( BD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 4 \), значит \( BD = 2 \).

Площадь диагонального сечения равна \( 8 = BD \cdot BB_1 \), откуда высота \( BB_1 = 4 \).

Площадь боковой поверхности равна периметру основания умноженному на высоту: \( (2 \cdot (2 + 2\sqrt{3})) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3} \).

Полная площадь поверхности равна \( 2 \cdot 2\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3} \).

1. Площадь основания параллелепипеда равна площади параллелограмма с соседними сторонами \( AB = 2 \) см, \( AD = 2\sqrt{3} \) см и углом между ними \( 30^\circ \). По формуле площади параллелограмма \( S = AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ \), получаем \( S = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \) см².

2. Для нахождения длины диагонали основания \( BD \) используем формулу: \( BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ \). Подставляя значения, получаем \( BD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 + 12 — 12 = 4 \). Следовательно, \( BD = 2 \) см.

3. Площадь диагонального сечения, проходящего через меньшую диагональ основания, равна 8 см². Это сечение является параллелограммом с диагональю основания \( BD \) и высотой равной высоте параллелепипеда \( BB_1 \). Площадь сечения можно представить как произведение диагонали на высоту: \( S = BD \cdot BB_1 \). Отсюда высота \( BB_1 = \frac{S}{BD} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

4. Периметр основания равен \( P = 2(AB + AD) = 2(2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} \) см.

5. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P \cdot BB_1 = (4 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3} \) см².

6. Полная площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: \( S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{бок} = 2 \cdot 2\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3} \) см².