ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше его измерений соответственно на 9 см, на 8 см и на 5 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Дано: \(a = d — 9\), \(b = d — 8\), \(c = d — 5\). Диагональ \(d\) удовлетворяет уравнению \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\).

Подставляем: \(d^2 = (d — 9)^2 + (d — 8)^2 + (d — 5)^2\).

Раскрываем скобки и складываем: \(d^2 = (d^2 — 18d + 81) + (d^2 — 16d + 64) + (d^2 — 10d + 25)=\)
\( = 3d^2 — 44d + 170\).

Переносим в одну сторону: \(d^2 — 3d^2 + 44d — 170 = 0\), то есть \( -2d^2 + 44d — 170 = 0\).

Делим на \(-2\): \(d^2 — 22d + 85 = 0\).

Вычисляем дискриминант: \(D = (-22)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 85 = 484 — 340 = 144\).

Находим корни: \(d = \frac{22 \pm 12}{2}\), то есть \(d_1 = 5\), \(d_2 = 17\).

Так как \(d = 5\) даёт отрицательные размеры, выбираем \(d = 17\).

Ответ: \(d = 17\).

1. Дано: \(a = d — 9\), \(b = d — 8\), \(c = d — 5\), где \(d\) — диагональ прямоугольного параллелепипеда.

2. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\).

3. Подставляем выражения для сторон: \(d^2 = (d — 9)^2 + (d — 8)^2 + (d — 5)^2\).

4. Раскрываем скобки: \(d^2 = (d^2 — 18d + 81) + (d^2 — 16d + 64) + (d^2 — 10d + 25)\).

5. Складываем все слагаемые: \(d^2 = 3d^2 — 44d + 170\).

6. Переносим все в левую часть уравнения: \(d^2 — 3d^2 + 44d — 170 = 0\), что даёт \(-2d^2 + 44d — 170 = 0\).

7. Делим уравнение на \(-2\): \(d^2 — 22d + 85 = 0\).

8. Вычисляем дискриминант: \(D = (-22)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 85 = 484 — 340 = 144\).

9. Находим корни уравнения: \(d = \frac{22 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{22 \pm 12}{2}\), то есть \(d_1 = 5\), \(d_2 = 17\).

10. Проверяем корни: при \(d = 5\) стороны отрицательны, при \(d = 17\) стороны положительны, значит \(d = 17\).

Ответ: \(d = 17\).