ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\) со стороной 6 см, \(\angle BAD = 45^\circ\). Через прямую \(AD\) и вершину \(B_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол 60°. Найдите:
1) боковое ребро параллелепипеда;
2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(ABD\).

Основание ромба со стороной 6 см и углом 45°. Диагональ \(BD\) вычисляется по формуле косинуса:
\(BD^2 = 6^2 + 6^2 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 72 — 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36(2 — \sqrt{2})\),
откуда \(BD = 6 \sqrt{2 — \sqrt{2}}\) см.

Боковое ребро \(BB_1\) находится из условия угла между плоскостями, по теореме Пифагора:
\(BD_1^2 = BD^2 + BB_1^2\),
где \(BD_1 = \sqrt{36 + 54} = 3 \sqrt{10}\),
следовательно, \(BB_1 = 3 \sqrt{6}\) см.

Площадь сечения \(B C_1 D\) равна произведению диагоналей основания и бокового ребра:
\(S = AD \cdot BB_1 = 6 \cdot 6 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}\) см².

1) Основание параллелепипеда — ромб с длиной стороны \(6\) см и углом \(45^\circ\). Для нахождения диагонали \(BD\) используем теорему косинусов:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD = 6^2 + 6^2 -\)
\(- 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 36 + 36 — 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\)
\( = 72 — 36 \sqrt{2}\).
Отсюда \(BD = 6 \sqrt{2 — \sqrt{2}}\) см.

2) Боковое ребро \(BB_1\) перпендикулярно основанию. Рассмотрим треугольник \(B D D_1\), где \(D_1\) — вершина, лежащая над \(D\). Диагональ \(BD_1\) равна гипотенузе:
\(BD_1^2 = BD^2 + BB_1^2\).
Из условия задачи угол между плоскостью через \(AD\) и \(B_1\) и плоскостью основания равен \(60^\circ\), что позволяет найти \(BD_1\). Подставляя значения, получаем \(BD_1 = 3 \sqrt{10}\).
Следовательно,
\(BB_1 = \sqrt{BD_1^2 — BD^2} = \sqrt{90 — (72 — 36 \sqrt{2})} = \sqrt{18 + 36 \sqrt{2}} = 3 \sqrt{6}\) см.

3) Площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(B C_1 D\) равна произведению диагоналей основания и бокового ребра, так как сечение является параллелограммом:
\(S_{B C_1 D} = AD \cdot BB_1 = 6 \cdot 6 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}\) см².