ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(d\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с одной из боковых граней — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Диагональ \(d\) образует с основанием угол \(\alpha\), значит высота \(BB_1 = c \sin \alpha\).

Периметр основания выражается через стороны, связанные с углом \(\beta\): \(P = 2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: \(S_{\text{бок. п.}} = P \cdot BB_1 = (2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}) \cdot c \sin \alpha\).

Итог: \(S_{\text{бок. п.}} = 2 c^2 \sin \alpha (\sin \beta + \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha})\).

1. Пусть \(c\) — высота параллелепипеда, \(BB_1\) — отрезок высоты, перпендикулярный к основанию. Диагональ \(d\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), значит

\(BB_1 = c \sin \alpha\).

2. Угол между диагональю и боковой гранью равен \(\beta\). Рассмотрим проекцию диагонали на боковую грань. Тогда длина проекции \(eB = c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}\).

3. Периметр основания \(P\) равен сумме длин сторон основания, выраженных через \(c\), \(\beta\) и \(\alpha\):

\(P = 2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}\).

4. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

\(S_{\text{бок. п.}} = P \cdot BB_1\).

5. Подставляем выражения для \(P\) и \(BB_1\):

\(S_{\text{бок. п.}} = (2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}) \cdot c \sin \alpha\).

6. Перегруппируем множители:

\(S_{\text{бок. п.}} = 2 c^2 \sin \alpha (\sin \beta + \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha})\).

7. Итоговое выражение для площади боковой поверхности параллелепипеда:

\(S_{\text{бок. п.}} = 2 c^2 \sin \alpha \left( \sin \beta + \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha} \right)\).