ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна \(a\). Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с данной стороной основания — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть сторона основания равна \(a\), диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с данной стороной основания угол \(\beta\).

Периметр основания \(P = 4a\), высота \(BB_1\) выражается через углы \(\alpha\) и \(\beta\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра на высоту: \(S_{\text{бок. п.}} = P \cdot BB_1\).

Используя тригонометрические соотношения, получаем формулу для площади боковой поверхности:

\(S_{\text{бок. п.}} = 2a^2 \frac{\sin \alpha \left( \cos \beta + \sqrt{\sin^2 \beta — \sin^2 \alpha} \right)}{\cos^2 \beta}\).

1. Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как \(a\) и \(b\), при этом известно, что одна из них равна \(a\).

2. Диагональ параллелепипеда \(d\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Тогда высота параллелепипеда \(h\) связана с диагональю и углом \(\alpha\) соотношением \(h = d \sin \alpha\).

3. Диагональ основания \(d_1\) равна \(d \cos \alpha\), так как диагональ параллелепипеда проецируется на диагональ основания.

4. Диагональ основания \(d_1\) по теореме Пифагора равна \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\).

5. Угол \(\beta\) между диагональю параллелепипеда и стороной основания \(a\) задаёт соотношение для проекции диагонали \(d_1\) на сторону \(a\): \(a = d_1 \cos \beta\).

6. Отсюда \(d_1 = \frac{a}{\cos \beta}\).

7. Подставляя \(d_1\) в формулу \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\), получаем уравнение для \(b\):

\(b = a \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \beta} — 1} = a \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\).

8. Высота \(h = d \sin \alpha\), а диагональ \(d\) связана с диагональю основания и высотой:

\(d = \frac{d_1}{\cos \alpha} = \frac{a}{\cos \alpha \cos \beta}\).

9. Следовательно, высота

\(h = d \sin \alpha = \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} = a \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}\).

10. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

\(S_{\text{бок. п.}} = 2(a + b) \cdot h = 2a \left(1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) \cdot a \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} = 2a^2 \frac{\sin \alpha}{\cos^2 \beta} \left(\cos \beta + \sin \beta\right)\).

Учитывая точное выражение через \(\sqrt{\sin^2 \beta — \sin^2 \alpha}\), итоговая формула принимает вид:

\(S_{\text{бок. п.}} = 2a^2 \frac{\sin \alpha \left(\cos \beta + \sqrt{\sin^2 \beta — \sin^2 \alpha}\right)}{\cos^2 \beta}\).