ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть \(cd\) — сторона ромба, \(cd_1\) — высота параллелепипеда. Тогда площади диагональных сечений равны \(S_1 = cd \cdot cd_1\) и \(S_2 = BD \cdot cd_1\), где \(BD\) — диагональ ромба.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot cd \cdot cd_1\).

Используем теорему Пифагора для диагоналей ромба: \(BD^2 + cd^2 = 4 \cdot cd^2\), отсюда \(cd = \sqrt{\frac{cd^2}{4} + \frac{BD^2}{4}}\).

Подставляем в выражение для площади боковой поверхности и учитываем \(S_1\) и \(S_2\):

\(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{cd^2}{4} + \frac{BD^2}{4}} \cdot cd_1 = 2 \cdot \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).

1. Пусть \(cd\) — сторона ромба, являющегося основанием параллелепипеда, а \(cd_1\) — высота параллелепипеда.

2. Рассмотрим диагональное сечение \(S_1 = S_{edid, g, c}\). Площадь этого сечения равна произведению стороны основания на высоту, то есть \(S_1 = cd \cdot cd_1\).

3. Рассмотрим второе диагональное сечение \(S_2 = S_{bb_1 d_1 d}\). Его площадь равна произведению диагонали ромба \(BD\) на высоту \(cd_1\), то есть \(S_2 = BD \cdot cd_1\).

4. Поскольку основание — ромб, его диагонали связаны со стороной \(cd\) по формуле \(BD^2 + AC^2 = 4 \cdot cd^2\). Для упрощения используем только диагональ \(BD\).

5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей четырёх боковых граней, каждая из которых является прямоугольником со сторонами \(cd\) и \(cd_1\), следовательно, \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot cd \cdot cd_1\).

6. Выразим \(cd\) через площади диагональных сечений: из \(S_1 = cd \cdot cd_1\) следует \(cd = \frac{S_1}{cd_1}\).

7. Аналогично из \(S_2 = BD \cdot cd_1\) получаем \(BD = \frac{S_2}{cd_1}\).

8. Подставим в формулу для боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = 4 \cdot cd \cdot cd_1 = 4 \cdot \frac{S_1}{cd_1} \cdot cd_1 = 4 \cdot S_1\).

9. Однако учитывая взаимосвязь сторон и диагоналей ромба через теорему Пифагора, площадь боковой поверхности можно выразить как
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).

10. Итог: площадь боковой поверхности параллелепипеда равна
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).