ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна \(S\). Площади диагональных сечений равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть \( S \) — площадь ромба основания, тогда \( S = \frac{1}{2} c \cdot А \), где \( c \) и \( А \) — диагонали ромба.

Площади диагональных сечений: \( S_1 = А \cdot c \cdot А_1 \) и \( S_2 = А \cdot А_1 \).

Перемножим \( S_1 \) и \( S_2 \): \( S_1 \cdot S_2 = А \cdot c \cdot А \cdot А_1^2 \).

Подставим \( c \cdot А = 2S \): \( S_1 \cdot S_2 = А \cdot 2S \cdot А_1^2 \).

Отсюда \( А \cdot А_1 = \sqrt{\frac{S_1 \cdot S_2}{2S}} \).

Рассмотрим ромб, у которого площадь основания обозначим как \( S \). Известно, что площадь ромба можно выразить через его диагонали. Если диагонали имеют длины \( c \) и \( A \), то площадь основания ромба равна половине произведения этих диагоналей, то есть

\( S = \frac{1}{2} c \cdot A \).

Это классическая формула площади ромба, которая вытекает из того, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят фигуру на четыре равных треугольника. Таким образом, площадь равна сумме площадей этих треугольников, что и даёт формулу через половину произведения диагоналей.

Далее рассмотрим площади диагональных сечений, которые обозначены как \( S_1 \) и \( S_2 \). Пусть

\( S_1 = A \cdot c \cdot A_1 \),

где \( A_1 \) — некоторая величина, связанная с сечением, а также

\( S_2 = A \cdot A_1 \).

Эти выражения описывают площади сечений, которые зависят от диагоналей ромба и дополнительного параметра \( A_1 \). Обратите внимание, что в формуле для \( S_1 \) площадь выражается через произведение трёх величин, а для \( S_2 \) — через произведение двух.

Теперь перемножим площади сечений \( S_1 \) и \( S_2 \):

\( S_1 \cdot S_2 = (A \cdot c \cdot A_1) \cdot (A \cdot A_1) = A \cdot c \cdot A \cdot A_1^2 = A^2 \cdot c \cdot A_1^2 \).

Здесь мы просто перемножили выражения, сгруппировав одинаковые множители. Следующий шаг — подставить выражение площади ромба \( S = \frac{1}{2} c \cdot A \) в полученное произведение. Для этого выразим произведение диагоналей \( c \cdot A \) через площадь ромба:

\( c \cdot A = 2S \).

Подставляя это в формулу для произведения площадей сечений, получаем

\( S_1 \cdot S_2 = A^2 \cdot (2S) \cdot A_1^2 = 2S \cdot A^2 \cdot A_1^2 \).

Из этого равенства можно выразить произведение \( A \cdot A_1 \). Для этого разделим обе части на \( 2S \):

\( \frac{S_1 \cdot S_2}{2S} = A^2 \cdot A_1^2 \).

Теперь возьмём квадратный корень из обеих частей уравнения, учитывая, что все переменные положительны:

\( \sqrt{\frac{S_1 \cdot S_2}{2S}} = \sqrt{A^2 \cdot A_1^2} = A \cdot A_1 \).

Таким образом, мы получили искомое выражение:

\( A \cdot A_1 = \sqrt{\frac{S_1 \cdot S_2}{2S}} \).

Этот результат показывает, как связаны параметры диагоналей и площади сечений с площадью ромба, и позволяет вычислить произведение \( A \cdot A_1 \) через известные площади.