ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через диагональ \(BD\) основания \(ABCD\) и вершину \(C_1\) прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) проведена плоскость, образующая угол 30° с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если \(BC = 8\) см, \(CD = 4\) см, \(\angle BCD = 60^\circ\).

Длина диагонали основания \(BD = \sqrt{8^2 + 4^2 — 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ} = 4 \sqrt{3}\).

Высота \(CC_1 = BD \cdot \tan 30^\circ = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Периметр основания \(P = 2(8 + 4) = 24\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = P \cdot CC_1 = 24 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 32 \sqrt{3}\, \text{см}^2\).

1. Найдём длину диагонали основания \(BD\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм с сторонами \(BC = 8\), \(CD = 4\) и углом между ними \(60^\circ\). По формуле диагонали параллелограмма:
\(BD = \sqrt{8^{2} + 4^{2} — 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{64 + 16 — 64 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{80 — 32} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}\).

2. Из условия угол между плоскостью, проходящей через диагональ \(BD\) и вершину \(C_1\), и плоскостью основания равен \(30^\circ\). Это означает, что высота \(CC_1\) связана с диагональю \(BD\) и углом \(30^\circ\) по формуле:
\(\tan 30^\circ = \frac{CC_1}{BD}\), откуда
\(CC_1 = BD \cdot \tan 30^\circ = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

3. Найдём периметр основания:
\(P = 2(BC + CD) = 2(8 + 4) = 24\).

4. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
\(S_{\text{бок}} = P \cdot CC_1 = 24 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 32 \sqrt{3}\, \text{см}^2\).