ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание \(ABCD\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадратом. Вершина \(A_1\) равноудалена от всех вершин основания \(ABCD\). Найдите высоту параллелепипеда, если сторона основания равна 8 см, а боковое ребро параллелепипеда — 6 см.

Пусть основание квадрата \(ABCD\) с координатами \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(C(8,8,0)\), \(D(0,8,0)\). Центр квадрата \(O\) имеет координаты \(O(4,4,0)\).

Вершина \(A_1\) равноудалена от всех вершин основания, значит она находится над центром квадрата: \(A_1(4,4,h)\).

Расстояние от \(A_1\) до \(A\) равно боковому ребру 6 см, тогда

\( \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (h-0)^2} = 6 \)

\( \sqrt{16 + 16 + h^2} = 6 \)

\( \sqrt{32 + h^2} = 6 \)

Возводим в квадрат:

\( 32 + h^2 = 36 \)

\( h^2 = 4 \)

\( h = 2 \) см.

1. Основание параллелепипеда — квадрат \(ABCD\) со стороной 8 см. Координаты вершин примем так: \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(C(8,8,0)\), \(D(0,8,0)\).

2. Вершина \(A_1\) равноудалена от всех вершин основания, значит она лежит на оси, проходящей через центр квадрата \(O\), который имеет координаты \(O\left(\frac{8}{2}, \frac{8}{2}, 0\right) = (4,4,0)\).

3. Пусть координаты вершины \(A_1\) будут \(A_1(4,4,h)\), где \(h\) — высота параллелепипеда.

4. Из условия боковое ребро равно 6 см, то есть расстояние от \(A_1\) до любой вершины основания равно 6.

5. Рассчитаем расстояние от \(A_1\) до \(A\):

\( \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + h^2} = \sqrt{32 + h^2} \)

6. Приравниваем это расстояние к 6:

\( \sqrt{32 + h^2} = 6 \)

7. Возводим обе части в квадрат:

\( 32 + h^2 = 36 \)

8. Выражаем \(h^2\):

\( h^2 = 36 — 32 = 4 \)

9. Находим \(h\):

\( h = \sqrt{4} = 2 \)

10. Следовательно, высота параллелепипеда равна 2 см.