ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 2\sqrt{2}\) см, \(\angle BAC = 30^\circ\), отрезок \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Найдите отрезок \(AD\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(AC=BC\), \(AB=2\sqrt{2}\), угол \(BAC=30^\circ\).

Найдем \(AC\) через теорему косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 30^\circ\). Подставим \(AC=BC=x\):

\(x^2 = 8 + x^2 — 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Сократим \(x^2\):

\(0 = 8 — 2\sqrt{6} \cdot x\)

Отсюда \(x = \frac{8}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\).

Длина биссектрисы \(AD\) вычисляется по формуле:

\(AD^2 = AB \cdot AC \left(1 — \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right)\).

Подставляя значения, получаем \(AD = 2\).

Ответ: \(AD = 2\).

1. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 2\sqrt{2}\), угол \(BAC = 30^\circ\), и \(AD\) — биссектриса угла \(A\).

2. Обозначим \(AC = BC = x\). По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\)

Подставляем значения:

\(x^2 = (2\sqrt{2})^2 + x^2 — 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot x \cdot \cos 30^\circ\)

3. Вычисляем числовые значения:

\(x^2 = 8 + x^2 — 4\sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Сокращаем \(x^2\) с обеих сторон:

\(0 = 8 — 2\sqrt{6} \cdot x\)

4. Решаем уравнение относительно \(x\):

\(2\sqrt{6} \cdot x = 8\)

\(x = \frac{8}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)

5. Теперь найдём длину биссектрисы \(AD\). Формула для длины биссектрисы угла \(A\) в треугольнике:

\(AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2}}{AB + AC}\)

6. Подставим известные значения:

\(AD = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \cos 15^\circ}{2\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{6}}{3}}\)

7. Приведём знаменатель к общему виду:

\(2\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2}}{3}\), значит

\(AB + AC = \frac{6\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{3}\)

8. Числитель:

\(2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \cos 15^\circ = \frac{8\sqrt{12}}{3} \cdot \cos 15^\circ = \frac{8 \cdot 2\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 15^\circ = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 15^\circ\)

9. Значение \(\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), подставим:

\(AD = \frac{\frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{3}} = \frac{16\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 4} \cdot \frac{3}{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}\)

10. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(4\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 4(\sqrt{18} + \sqrt{6}) = 4(3\sqrt{2} + \sqrt{6}) = 12\sqrt{2} + 4\sqrt{6}\)

Знаменатель: \(6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(2\):

\(\frac{12\sqrt{2} + 4\sqrt{6}}{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{3\sqrt{2} + \sqrt{6}} = 2\)

Ответ: \(AD = 2\).