ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а боковая сторона — 30 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Дано основание 20 см, боковые стороны по 30 см. Найдём угол при вершине \( B \) по теореме косинусов: \( 20^2 = 30^2 + 30^2 — 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos B \), откуда \( \cos B = \frac{7}{9} \).

Биссектриса делит основание пропорционально сторонам, так как треугольник равнобедренный, делит пополам: \( BK = 18 \), \( KC = 12 \).

Длина биссектрисы \( dK \) найдётся по теореме косинусов: \( dK^2 = 30^2 + 18^2 — 2 \cdot 30 \cdot 18 \cdot \frac{7}{9} = 384 \), значит \( dK = 8 \sqrt{6} \) см.

1. Дано равнобедренный треугольник \( BEC \) с боковыми сторонами \( EB = BC = 30 \) см и основанием \( EC = 20 \) см. Нужно найти длину биссектрисы \( dK \), проведённой из вершины \( B \) к основанию \( EC \).

2. Найдём угол \( B \) по теореме косинусов: \( EC^2 = EB^2 + BC^2 — 2 \cdot EB \cdot BC \cdot \cos B \). Подставляем значения: \( 20^2 = 30^2 + 30^2 — 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos B \), откуда \( 400 = 900 + 900 — 1800 \cos B \), значит \( 1800 \cos B = 1400 \), и \( \cos B = \frac{7}{9} \).

3. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса из вершины \( B \) делит основание \( EC \) пополам, то есть \( EK = KC = 10 \) см.

4. Рассмотрим треугольник \( BKC \), где \( BK = dK \) — искомая биссектриса, \( KC = 10 \) см, и угол при вершине \( B \) равен \( \angle B \).

5. Найдём длину \( dK \) по теореме косинусов: \( dK^2 = EB^2 + EK^2 — 2 \cdot EB \cdot EK \cdot \cos B \). Подставляем: \( dK^2 = 30^2 + 10^2 — 2 \cdot 30 \cdot 10 \cdot \frac{7}{9} \).

6. Вычисляем: \( dK^2 = 900 + 100 — 4200 \cdot \frac{7}{9} = 1000 — \frac{29400}{9} = 1000 — 3266\frac{2}{3} = -2266\frac{2}{3} \). Получается отрицательное значение, значит ошибка в предположении.

7. Исправляем. Биссектриса делит основание пропорционально прилегающим сторонам, но так как стороны равны, делит пополам, значит \( EK = KC = 10 \) см.

8. Для нахождения \( dK \) используем формулу длины биссектрисы в треугольнике: \( dK = \frac{2 \cdot EB \cdot BC \cdot \cos \frac{\angle B}{2}}{EB + BC} \). Поскольку \( EB = BC \), формула упрощается до \( dK = EB \cdot \cos \frac{\angle B}{2} \).

9. Найдём \( \cos \frac{\angle B}{2} \) по формуле половинного угла: \( \cos \frac{\angle B}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos B}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{9}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \).

10. Тогда \( dK = 30 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 20 \sqrt{2} \) см. Ответ: длина биссектрисы равна \( 20 \sqrt{2} \) см.