ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 17.7), \(AB = 5\) см, \(AD = 7\) см, \(AA_1 = 12\) см. Найдите угол между:

1) прямой \(DC\) и плоскостью \(BCC_1\);

2) прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABB_1\).

1) Угол между прямой \(DC\) и плоскостью \(BCC_1\) равен углу между \(DC\) и её проекцией \(DC_1\). Тогда \(\tan \angle (D, DC_1) = \frac{DC_1}{DD_1} = \frac{5}{12}\), значит \(\angle (D, DC_1) = \arctan \frac{5}{12}\).

2) Для угла между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABB_1\) найдём длину \(CD B_1 = \sqrt{25 + 144} = 13\). Тогда \(\tan \angle (B_1D, \text{плоскости}) = \frac{DD_1}{CD B_1} = \frac{7}{13}\), следовательно \(\angle (B_1D, \text{плоскости}) = \arctan \frac{7}{13}\).

1) Угол между прямой \(DC\) и плоскостью \(BCC_1\) равен углу между прямой \(DC\) и её проекцией на эту плоскость, то есть отрезком \(DC_1\). В прямоугольном треугольнике \(DD_1C_1\) катеты равны \(DC_1 = 5\) и \(DD_1 = 12\). Тангенс угла между прямой и плоскостью равен отношению проекции к высоте: \(\tan \alpha = \frac{DC_1}{DD_1} = \frac{5}{12}\). Значит, угол равен \(\alpha = \arctan \frac{5}{12}\).

2) Для нахождения угла между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABB_1\) рассмотрим треугольник \(CDB_1\). Стороны \(CD = 5\), \(DB_1 = 12\). Найдём длину \(CB_1\) по теореме Пифагора: \(CB_1 = \sqrt{CD^2 + DB_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\). Тангенс угла между прямой и плоскостью равен отношению высоты \(DD_1 = 7\) к длине \(CB_1 = 13\): \(\tan \beta = \frac{7}{13}\). Следовательно, угол равен \(\beta = \arctan \frac{7}{13}\).