ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 17.7), \(AB = 5\) см, \(AD = 7\) см, \(AA_1 = 12\) см. Найдите угол между:

1) прямой \(DC_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\);

2) прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABC\).

Угол между прямой \(DC_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен углу между \(DC_1\) и её проекцией \(D_1C_1\). Тангенс этого угла равен \(\frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5}\), значит угол равен \(\arctan \frac{12}{5}\).

Длина \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\).

Тангенс угла между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\frac{BB_1}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}} = \frac{12 \sqrt{74}}{74} = \frac{6 \sqrt{74}}{37}\), значит угол равен \(\arctan \frac{6 \sqrt{74}}{37}\).

1. Рассмотрим угол между прямой \(DC_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\). Этот угол равен углу между прямой \(DC_1\) и её проекцией на плоскость \(A_1B_1C_1\), то есть отрезком \(D_1C_1\).

2. Найдём длину проекции \(D_1C_1\). Так как \(D_1C_1\) параллельна \(DC\), а \(DC = AB = 5\) см, то \(D_1C_1 = 5\) см.

3. Высота \(DD_1 = AA_1 = 12\) см.

4. Тангенс угла между \(DC_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен отношению высоты к длине проекции:

\( \tan \alpha = \frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5} \).

5. Следовательно, угол равен \( \alpha = \arctan \frac{12}{5} \).

6. Теперь найдём угол между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABC\). Для этого сначала найдём длину отрезка \(BD\).

7. Поскольку \(AB = 5\) см и \(AD = 7\) см, то по теореме Пифагора

\( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \).

8. Высота \(BB_1 = AA_1 = 12\) см.

9. Тангенс угла между \(B_1D\) и плоскостью \(ABC\) равен отношению высоты \(BB_1\) к длине проекции \(BD\):

\( \tan \beta = \frac{BB_1}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}} = \frac{12 \sqrt{74}}{74} = \frac{6 \sqrt{74}}{37} \).

10. Следовательно, угол равен \( \beta = \arctan \frac{6 \sqrt{74}}{37} \).