ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если они относятся как 1 : 2 : 2, а диагональ параллелепипеда равна 6 см.

Пусть \(a = x\), тогда \(b = 2x\), \(c = 2x\).

Диагональ: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\).

Подставляем: \(6^2 = x^2 + (2x)^2 + (2x)^2 = 9x^2\).

Решаем: \(9x^2 = 36 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\).

Ответ: \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(c = 4\) см.

1. Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны \(a\), \(b\), \(c\). Из условия известно, что отношение размеров равно \(1 : 2 : 2\), значит можно записать: \(a = x\), \(b = 2x\), \(c = 2x\).

2. Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).

3. Подставляем известные значения: \(d = 6\), \(a = x\), \(b = 2x\), \(c = 2x\), тогда получаем уравнение \(6^2 = x^2 + (2x)^2 + (2x)^2\).

4. Раскрываем скобки и складываем: \(36 = x^2 + 4x^2 + 4x^2 = 9x^2\).

5. Решаем уравнение относительно \(x\): \(9x^2 = 36 \Rightarrow x^2 = \frac{36}{9} = 4\).

6. Извлекаем корень: \(x = \sqrt{4} = 2\).

7. Находим длины рёбер: \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(c = 4\) см.

8. Проверяем: диагональ при таких размерах равна \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6\) см.

9. Значит, найденные размеры соответствуют условию задачи.

10. Ответ: \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(c = 4\) см.