ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 17.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро куба равно \(a\). Чему равна диагональ куба?

Диагональ куба — это диагональ пространства, проходящая через две противоположные вершины.

Если ребро куба равно \(a\), то диагональ грани равна \(a \sqrt{2}\) по теореме Пифагора.

Диагональ куба \(el\) находится как гипотенуза треугольника с катетами \(a\) и \(a \sqrt{2}\):
\(el = \sqrt{a^2 + (a \sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3}\).

1. Пусть ребро куба равно \(a\).

2. Рассмотрим диагональ грани куба. Грань — это квадрат со сторонами \(a\).

3. По теореме Пифагора диагональ грани равна \(a \sqrt{2}\), так как \( \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2} \).

4. Теперь рассмотрим диагональ куба, которая проходит через две противоположные вершины.

5. Эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами: ребро куба \(a\) и диагональ грани \(a \sqrt{2}\).

6. По теореме Пифагора для диагонали куба \(el\) имеем:
\(el = \sqrt{a^2 + (a \sqrt{2})^2}\).

7. Вычислим выражение под корнем:
\(a^2 + (a \sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 \cdot 2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\).

8. Следовательно,
\(el = \sqrt{3a^2}\).

9. Извлечём корень:
\(el = a \sqrt{3}\).

10. Итог: диагональ куба равна \(a \sqrt{3}\).