ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной восьмиугольной пирамиды равен 30°, а боковое ребро — 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной пирамиды равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани.

Площадь боковой грани равна \( \frac{a \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4} \), где \(a = 2\) — боковое ребро.

Количество граней равно 8, значит площадь боковой поверхности \( S = 8 \cdot \frac{a^2}{4} = 2a^2 \).

Подставляя \( a = 2 \), получаем \( S = 2 \cdot 2^2 = 8 \).

Ответ: 8 см².

1. Дана правильная восьмиугольная пирамида с боковым ребром \( a = 2 \) см и плоским углом при вершине \( 30^\circ \).

2. Плоский угол при вершине — это угол между двумя соседними боковыми гранями пирамиды.

3. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти площадь одной боковой грани и умножить на количество граней (8).

4. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне основания пирамиды, и боковыми сторонами, равными боковому ребру.

5. Угол при вершине треугольника равен половине плоского угла пирамиды, то есть \( \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \).

6. Высота боковой грани \( h \) связана с боковым ребром \( a \) и углом \( 15^\circ \) как \( h = a \cos 15^\circ \).

7. Основание боковой грани равно \( b = 2a \sin 15^\circ \).

8. Площадь боковой грани вычисляется по формуле \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 2a \sin 15^\circ \cdot a \cos 15^\circ = a^2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \).

9. Используя формулу двойного угла, получаем \( \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

10. Тогда площадь боковой грани \( S_{\triangle} = a^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{a^2}{4} \). Площадь боковой поверхности равна \( S = 8 \cdot \frac{a^2}{4} = 2a^2 \). Подставляя \( a = 2 \), получаем \( S = 2 \cdot 2^2 = 8 \) см².