ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды равна 300 см², а её апофема — 15 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна \( S = \frac{1}{2} P h \), где \( P \) — периметр основания, \( h \) — апофема.

Подставляем данные: \( 300 = \frac{1}{2} P \times 15 \).

Умножаем на 2: \( 600 = 15 P \).

Делим на 15: \( P = \frac{600}{15} = 40 \).

Периметр правильного пятиугольника равен \( P = 5a \), где \( a \) — сторона основания.

Находим сторону: \( a = \frac{40}{5} = 8 \).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — это сумма площадей всех её боковых граней. В случае правильной пирамиды, у которой основание является правильным многоугольником, боковые грани — равнобедренные треугольники с общей высотой, называемой апофемой. Апофема — это высота боковой грани, которая опускается перпендикулярно к стороне основания. Формула для площади боковой поверхности правильной пирамиды записывается как
\( S = \frac{1}{2} P h \),
где \( P \) — периметр основания, а \( h \) — апофема. Эта формула получается из суммы площадей всех боковых треугольников, где каждый треугольник имеет основание — сторону многоугольника, а высоту — апофему.

В условии задачи нам известно, что площадь боковой поверхности равна 300 см², а апофема равна 15 см. Подставим эти данные в формулу:
\( 300 = \frac{1}{2} P \times 15 \).
Чтобы упростить уравнение, сначала умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
\( 600 = 15 P \).
Теперь разделим обе части уравнения на 15, чтобы выразить периметр основания:
\( P = \frac{600}{15} = 40 \) см.
Таким образом, периметр основания пирамиды равен 40 см.

Основание пирамиды — правильный пятиугольник, то есть пятиугольник с равными сторонами. Периметр правильного пятиугольника равен произведению длины стороны \( a \) на количество сторон, то есть
\( P = 5 a \).
Подставим найденное значение периметра:
\( 40 = 5 a \).
Чтобы найти длину стороны основания, разделим обе части уравнения на 5:
\( a = \frac{40}{5} = 8 \) см.
Это означает, что каждая сторона основания правильной пятиугольной пирамиды равна 8 см. Таким образом, мы нашли искомую длину стороны основания, используя известные данные о площади боковой поверхности и апофеме.