ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь основания равна \( S_{осн} = 10^2 = 100 \) см².

Периметр основания \( p = 4 \times 10 = 40 \) см.

Апофема равна \( h = 5 \sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{1}{2} p h = \frac{1}{2} \times 40 \times 5 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \) см².

Площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 100 \sqrt{3} = 100 (1 + \sqrt{3}) \) см².

1. Основание пирамиды представляет собой квадрат с длиной стороны, равной 10 см. Чтобы найти площадь основания, необходимо возвести длину стороны в квадрат, так как площадь квадрата вычисляется по формуле \( S_{осн} = a^{2} \), где \( a \) — длина стороны. В нашем случае это будет \( S_{осн} = 10^{2} = 100 \) см². Это значение показывает, сколько квадратных сантиметров занимает основание пирамиды.

2. Для вычисления площади боковой поверхности нужно знать периметр основания и высоту боковой грани, называемую апофемой. Периметр квадрата — это сумма всех его сторон, то есть \( p = 4 \times 10 = 40 \) см. Апофема — это высота треугольника, который образует боковую грань пирамиды. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна \( h = 5 \sqrt{3} \) см, что можно получить, применяя теорему Пифагора к соответствующим треугольникам, образованным высотой пирамиды и половиной стороны основания.

3. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырёх равных треугольников. Площадь одного треугольника равна \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). В данном случае основание — это сторона квадрата, а высота — апофема. Значит, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \( S_{бок} = \frac{1}{2} p h = \frac{1}{2} \times 40 \times 5 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \) см². Это значение показывает, сколько квадратных сантиметров занимает вся боковая поверхность пирамиды.

4. Полная площадь поверхности пирамиды — это сумма площади основания и площади боковой поверхности. Таким образом, \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 100 \sqrt{3} = 100 (1 + \sqrt{3}) \) см². Этот результат отражает общую площадь всех внешних граней пирамиды, что важно для задач, связанных с покрытием или окраской фигуры.

5. Итоговое выражение \( 100 (1 + \sqrt{3}) \) см² показывает, что площадь полной поверхности зависит не только от площади основания, но и от геометрических свойств боковых граней, выраженных через апофему. Такой подход позволяет точно рассчитать площадь любой правильной четырёхугольной пирамиды при известной длине ребра.