ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь основания правильного треугольника с ребром 4 равна \( S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \).

Площадь боковой поверхности равна \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \).

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности: \( S_{полн} = 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \).

1. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 4 см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a = 4 \). Подставляем: \( S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \).

2. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти площадь трех равных треугольников, каждая из которых — боковая грань пирамиды. Ребро основания равно 4, высота боковой грани равна 3, а длина апофемы (высоты боковой грани) равна \( 2 \sqrt{3} \).

3. Площадь одной боковой грани равна \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \).

4. Так как боковых граней 3, общая площадь боковой поверхности равна \( 3 \times 6 = 18 \).

5. Проверим апофему. Апофема правильной треугольной пирамиды — это высота боковой грани, которая равна \( 2 \sqrt{3} \), что совпадает с условием.

6. Площадь боковой поверхности можно также вычислить по формуле \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times p \times h \), где \( p \) — периметр основания, \( h \) — апофема. Периметр основания \( p = 3 \times 4 = 12 \), апофема \( h = 2 \sqrt{3} \). Тогда \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 12 \times 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \).

7. Таким образом, площадь боковой поверхности равна \( 12 \sqrt{3} \).

8. Площадь полной поверхности пирамиды — сумма площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} \).

9. Складываем: \( 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \).

10. Ответ: площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с ребром 4 равна \( 16 \sqrt{3} \) см².