ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей — 24 см. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота равна 16 см.

Основание ромба со стороной 13 см и диагональю 24 см. Половина диагонали \(AC\) равна \(12\) см.

В треугольнике \(AOB\) по теореме Пифагора: \(13^2 = 12^2 + OB^2\), откуда \(OB = 5\) см, значит диагональ \(BD = 10\) см.

Высота пирамиды \(SO = 16\) см.

Боковые ребра:

\(SB = SD = \sqrt{16^2 + 5^2} = \sqrt{256 + 25} = \sqrt{281}\),

\(SC = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = 20\).

Ответ: \(SB = SD = \sqrt{281}\) см, \(SC = 20\) см.

Основание пирамиды — ромб со стороной 13 см и одной диагональю 24 см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали \(AC\) равна \( \frac{24}{2} = 12 \) см. Для нахождения другой диагонали \(BD\) используем теорему Пифагора в треугольнике \(AOB\), где \(AB = 13\) см — сторона ромба, \(AO = 12\) см — половина диагонали \(AC\), а \(OB\) — половина диагонали \(BD\). По теореме Пифагора: \(13^2 = 12^2 + OB^2\), откуда \(OB^2 = 13^2 — 12^2 = 169 — 144 = 25\), значит \(OB = 5\) см, и диагональ \(BD = 2 \times 5 = 10\) см.

Высота пирамиды \(SO = 16\) см проведена из вершины \(S\) перпендикулярно к плоскости основания, и точка основания высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба. Для вычисления длин боковых рёбер \(SB\), \(SC\), \(SD\) рассматриваем прямоугольные треугольники, образованные высотой и половинами диагоналей. Так, ребро \(SB\) является гипотенузой треугольника \(SOB\) с катетами \(SO = 16\) см и \(OB = 5\) см, тогда \(SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{16^2 + 5^2} = \sqrt{256 + 25} = \sqrt{281}\) см. Аналогично для ребра \(SC\) в треугольнике \(SOC\) с катетами \(SO = 16\) см и \(OC = 12\) см: \(SC = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\) см.

Поскольку ромб симметричен относительно точки пересечения диагоналей, боковые рёбра \(SB\) и \(SD\) равны, а ребро \(SC\) имеет длину 20 см. Таким образом, боковые рёбра пирамиды равны: \(SB = SD = \sqrt{281}\) см и \(SC = 20\) см. Это решение основано на свойствах ромба и использовании теоремы Пифагора для нахождения расстояний в трёхмерном пространстве.