ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, проходящего через большую диагональ основания.

Боковое ребро пирамиды равно \(b\), угол с основанием \(\beta\).

Диагональ основания \(AD = 2b \cos \beta\).

Высота сечения \(SO = b \sin \beta\).

Площадь диагонального сечения \(S = \frac{1}{2} \times AD \times SO = \frac{1}{2} \times 2b \cos \beta \times b \sin \beta = b^2 \cos \beta \sin \beta\).

Используем формулу двойного угла: \(S = \frac{1}{2} b^2 \sin 2\beta\).

1. Пусть \(b\) — длина бокового ребра пирамиды, \(\beta\) — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

2. Рассмотрим правильный шестиугольник в основании. Его большая диагональ \(AD\) равна удвоенной стороне \(BD\), то есть \(AD = 2 \cdot BD\).

3. Из треугольника \(SBD\) проведём высоту \(SO\) на сторону \(BD\). По определению угла \(\beta\) имеем \(SO = b \sin \beta\).

4. Проекция бокового ребра на основание равна \(OD = b \cos \beta\).

5. Поскольку \(AD = 2 \cdot OD\), получаем \(AD = 2 b \cos \beta\).

6. Диагональное сечение пирамиды — треугольник \(SAD\), площадь которого равна \(S = \frac{1}{2} \times AD \times SO\).

7. Подставляем выражения для \(AD\) и \(SO\): \(S = \frac{1}{2} \times 2 b \cos \beta \times b \sin \beta\).

8. Упрощаем: \(S = b^{2} \cos \beta \sin \beta\).

9. Используем формулу двойного угла: \(\sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta\).

10. Итоговая площадь диагонального сечения \(S = \frac{1}{2} b^{2} \sin 2\beta\).