ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Диагональ основания \(AC = a \sqrt{2}\).

Половина диагонали \(AO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Высота пирамиды \(SO = AO \tan \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

Площадь диагонального сечения \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SO = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha = \frac{a^2}{2} \tan \alpha\).

1. Основание пирамиды — квадрат со стороной \(a\). Длина диагонали квадрата равна \(AC = a \sqrt{2}\).

2. Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), тогда \(AO = OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

3. Рассмотрим треугольник \(SOA\), где \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — середина диагонали основания, \(A\) — вершина квадрата.

4. Боковое ребро \(SA\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Значит, угол между ребром \(SA\) и основанием равен \(\alpha\).

5. Высота пирамиды \(SO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому в треугольнике \(SOA\) угол при \(O\) равен \(90^\circ\).

6. По определению тангенса угла \(\alpha\) в треугольнике \(SOA\) имеем: \(\tan \alpha = \frac{SO}{AO}\).

7. Следовательно, высота пирамиды равна \(SO = AO \tan \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

8. Диагональное сечение — треугольник \(SAC\), его площадь равна половине произведения основания на высоту: \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SO\).

9. Подставляем значения: \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

10. Упрощаем: \(S_{SAC} = \frac{a^2 \times 2}{4} \tan \alpha = \frac{a^2}{2} \tan \alpha\).