ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( \alpha \).

Рассмотрим двугранный угол при ребре основания. Его можно выразить через угол \( \alpha \) с помощью формулы \( \theta = \arctan(2 \tan \alpha) \).

Ответ: угол двугранного угла при ребре основания равен \( \arctan(2 \tan \alpha) \).

1. Пусть \( SABC \) — правильная треугольная пирамида с основанием \( ABC \), где \( ABC \) — правильный треугольник. Боковое ребро \( SA \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha \).

2. Обозначим \( O \) — центр основания \( ABC \). Поскольку \( ABC \) правильный треугольник, \( O \) — центр вписанной и описанной окружностей.

3. Рассмотрим высоту пирамиды \( SO \), которая перпендикулярна плоскости основания. Тогда угол между боковым ребром \( SA \) и плоскостью основания равен \( \alpha \).

4. Из треугольника \( SAO \) имеем: \( \cos \alpha = \frac{SO}{SA} \), откуда \( SO = SA \cos \alpha \).

5. Поскольку \( ABC \) — правильный треугольник, длина высоты \( h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \), где \( a = AB \).

6. Центр \( O \) находится на расстоянии \( \frac{a}{\sqrt{3}} \) от вершины \( A \) вдоль высоты треугольника.

7. Рассмотрим двугранный угол при ребре \( AB \), который образуют плоскости \( SAB \) и \( ABC \).

8. Для нахождения двугранного угла рассмотрим нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости основания \( ABC \) вертикальна, а нормаль к плоскости \( SAB \) зависит от угла \( \alpha \).

9. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, что даёт формулу двугранного угла \( \theta = \arctan(2 \tan \alpha) \).

10. Таким образом, двугранный угол при ребре основания равен \( \theta = \arctan(2 \tan \alpha) \).