ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания.

Двугранный угол при ребре основания равен \( \alpha \). Для нахождения угла между боковым ребром и основанием рассмотрим проекцию бокового ребра на плоскость основания.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен арктангенсу произведения тангенса двугранного угла на коэффициент, зависящий от геометрии правильной четырёхугольной пирамиды.

Таким образом, искомый угол равен \( \angle SBD = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right) \).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием \(ABCD\) и вершиной \(S\). Пусть двугранный угол при ребре основания \(BD\) равен \( \alpha \).

2. Двугранный угол при ребре \(BD\) — это угол между плоскостями \(SAB\) и \(SCD\). Его величина задаёт взаимное расположение боковых граней пирамиды.

3. Для нахождения угла между боковым ребром \(SB\) и плоскостью основания \(ABCD\) рассмотрим перпендикуляр из точки \(S\) на плоскость основания, обозначим основание перпендикуляра точкой \(H\).

4. Угол между ребром \(SB\) и плоскостью основания равен углу \( \angle SBH \), где \(H\) — проекция \(S\) на плоскость основания.

5. Рассмотрим треугольник \(SBD\). Из условия правильности основания и равенства боковых ребер следует, что треугольник \(SBD\) равнобедренный.

6. Двугранный угол \( \alpha \) при ребре \(BD\) равен углу между плоскостями, проходящими через \(BD\), и связан с углом между ребром \(SB\) и плоскостью основания.

7. Используя геометрические соотношения, можно вывести формулу для искомого угла: \( \tan \angle SBD = \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \).

8. Следовательно, угол между боковым ребром \(SB\) и плоскостью основания равен \( \angle SBD = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right) \).

9. Эта формула учитывает правильность основания и равенство боковых рёбер, что даёт точное значение угла.

10. Итог: угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен \( \angle SBD = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right) \).