ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(D\), \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AB\), \(AM\) и \(MC\) правильной пирамиды \(MABCD\) соответственно, \(AB = 8\) см, \(AM = 12\) см.

1) Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки \(D\), \(E\) и \(F\).

2) Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.

3) Найдите площадь сечения.

Точки \(D\), \(E\), \(F\) — середины рёбер \(AB\), \(AM\), \(MC\) пирамиды.

Построим точку \(K\) — середину ребра \(BC\). Тогда сечение — четырёхугольник \(EFKD\).

Длины сторон:
\(EF = DK = \frac{1}{2} DC = 4\) см,
\(ED = FK = \frac{1}{2} AM = 6\) см.

Противоположные стороны равны, углы прямые, значит \(EFKD\) — прямоугольник.

Площадь сечения:
\(S_{EFKD} = EF \times ED = 4 \times 6 = 24\) см².

1) Точки \(D\), \(E\), \(F\) — середины рёбер \(AB\), \(AM\), \(MC\) соответственно. По условию \(AB = 8\) см, \(AM = 12\) см. Найдём длины отрезков: \(AD = DB = \frac{1}{2} AB = 4\) см, \(AE = EM = \frac{1}{2} AM = 6\) см, \(MF = FC = \frac{1}{2} MC = 6\) см (так как \(MC = AM = 12\) см).

2) Для замыкания сечения построим точку \(K\) — середину ребра \(BC\). Тогда \(BK = KC = \frac{1}{2} BC = 4\) см (основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 8 см).

3) Рассмотрим четырёхугольник \(EFKD\). Проверим равенство противоположных сторон: \(EF = DK = \frac{1}{2} DC = 4\) см, \(ED = FK = 6\) см.

4) Углы между сторонами \(EF\) и \(ED\) прямые, так как \(EF \parallel DK\) и \(ED \parallel FK\) по построению на серединах рёбер правильной пирамиды.

5) Значит \(EFKD\) — прямоугольник с длинами сторон \(4\) см и \(6\) см.

6) Площадь сечения равна произведению соседних сторон прямоугольника: \(S_{EFKD} = EF \times ED = 4 \times 6 = 24\) см².