ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через основание её высоты и параллельной скрещивающимся рёбрам пирамиды. Найдите периметр этого сечения, если сторона основания пирамиды равна 9 см, а боковое ребро равно 12 см.

Дано: сторона основания пирамиды \(9 \text{ см}\), боковое ребро \(12 \text{ см}\).

Плоскость сечения проходит через основание высоты и параллельна скрещивающимся рёбрам.

Периметр сечения равен сумме двух отрезков на основании и двух отрезков на боковых рёбрах: \(P = 2 \cdot KL + 2 \cdot MN\).

Длины отрезков: \(KL = 4 \text{ см}\), \(MN = 6 \text{ см}\).

Подставляем: \(P = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 = 8 + 12 = 20 \text{ см}\).

Ответ: периметр сечения равен \(20 \text{ см}\).

1. Дана правильная треугольная пирамида с основанием \(ABC\), где \(AB = BC = CA = 9 \text{ см}\), и боковыми рёбрами \(SA = SB = SC = 12 \text{ см}\).

2. Найдём центр основания \(O\) — точку пересечения медиан треугольника \(ABC\). В равностороннем треугольнике \(O\) совпадает с центром тяжести и высотой. Высота основания равна \(h = \frac{9 \sqrt{3}}{2}\).

3. Определим высоту пирамиды \(SO\). Для этого найдём длину медианы основания: \(m_a = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 9 = \frac{9 \sqrt{3}}{2}\), а затем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора в треугольнике \(SAO\): \(SO = \sqrt{12^2 — \left(\frac{9 \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{144 — 81} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7}\).

4. Плоскость сечения проходит через точку \(O\) и параллельна скрещивающимся рёбрам \(SA\) и \(BC\).

5. Плоскость пересекает ребро \(SA\) в точке \(M\), ребро \(SB\) в точке \(N\), основание в отрезке \(KL\) на ребрах \(AC\) и \(BC\) соответственно.

6. Поскольку плоскость параллельна ребру \(SA\), отрезок \(MN\) параллелен \(SA\) и равен \(6 \text{ см}\).

7. Отрезок \(KL\) на основании равен \(4 \text{ см}\).

8. Сечение образует четырёхугольник \(KLMN\) с двумя параллельными сторонами \(KL\) и \(MN\).

9. Периметр сечения равен \(P = 2 \cdot KL + 2 \cdot MN\).

10. Подставляем значения: \(P = 2 \times 4 + 2 \times 6 = 8 + 12 = 20 \text{ см}\).