ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания правильного треугольника со стороной \(a\) равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Площадь боковой поверхности выражается через двугранный угол \(\alpha\) и равна \( \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} — \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Итоговая площадь полной поверхности: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

1. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\). Его площадь вычисляется по формуле \(S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

2. Пирамида правильная, значит вершина находится над центром основания, а боковые грани — равнобедренные треугольники.

3. Двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\). Он задаёт угол между боковой гранью и основанием.

4. Рассмотрим один из боковых треугольников. Его основание равно \(a\), а высота связана с углом \(\alpha\).

5. Высота боковой грани равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\).

6. Площадь одной боковой грани равна \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} a h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \tan \frac{\alpha}{2}\).

7. Поскольку боковых граней три, площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок. п.}} = 3 S_{\text{бок}} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4} \tan \frac{\alpha}{2}\).

8. Полная площадь поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок. п.}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4} \tan \frac{\alpha}{2}\).

9. Приведём выражение к общему виду: \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} (1 + 3 \tan \frac{\alpha}{2})\).

10. Используя тригонометрические преобразования, получаем окончательную формулу площади полной поверхности пирамиды: \(S = \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha}\).