Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\gamma\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Диагональ основания квадрата \(d\) связана со стороной основания \(a\) формулой \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\).
Площадь основания равна \(S_{осн} = a^2 = \frac{d^2}{2}\).
Площадь одной боковой грани равна \(S_{бок} = \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{2 \cos \gamma}\).
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и четырёх боковых граней: \(S_{полн} = \frac{d^2}{2} + 4 \times \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{2 \cos \gamma} = \frac{d^2}{2} + 2 \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{\cos \gamma}\).
1. Основание пирамиды — квадрат с диагональю \(d\). Сторона квадрата \(a\) находится по формуле \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\).
2. Площадь основания равна площади квадрата: \(S_{осн} = a^2 = \frac{d^2}{2}\).
3. Рассмотрим боковую грань пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и высотой, равной апофеме \(h_b\).
4. Двугранный угол при ребре основания \(\gamma\) связан с углом между боковой гранью и плоскостью основания.
5. Апофема боковой грани \(h_b\) выражается через угол \(\gamma\) и половину стороны основания \(l = \frac{a}{2} = \frac{d}{2\sqrt{2}}\).
6. Из геометрии пирамиды следует, что площадь боковой грани равна \(S_{бок} = \frac{1}{2} a h_b\).
7. Выражая \(h_b\) через \(\gamma\), получаем \(S_{бок} = \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{2 \cos \gamma}\).
8. Поскольку боковых граней 4, суммарная площадь боковых граней равна \(4 S_{бок} = 4 \times \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{2 \cos \gamma} = 2 \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{\cos \gamma}\).
9. Полная площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней: \(S_{полн} = S_{осн} + 4 S_{бок} = \frac{d^2}{2} + 2 \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{\cos \gamma}\).
10. Ответ: \(S_{полн} = \frac{d^2}{2} + 2 \frac{d^2 \cos^2 \frac{\gamma}{2}}{\cos \gamma}\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!