ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Апофема \( SK = 6 \) см, угол с основанием \( 60^\circ \).

В треугольнике \( SOK \) по формуле косинуса: \( \cos 60^\circ = \frac{OK}{6} \), откуда \( OK = 3 \) см.

Сторона основания \( a = 2 \cdot OK = 6 \) см.

Периметр основания \( P = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72 \) см².

1. Дано: апофема \( SK = 6 \) см, угол между апофемой и плоскостью основания равен \( 60^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник \( SOK \), где \( O \) — центр основания, \( K \) — середина стороны основания. В этом треугольнике угол при \( K \) равен \( 90^\circ \), а угол при \( O \) равен \( 60^\circ \).

3. По определению косинуса угла \( 60^\circ \) имеем: \( \cos 60^\circ = \frac{OK}{SK} \).

4. Подставляя значения, получаем: \( \cos 60^\circ = \frac{OK}{6} \).

5. Из этого следует, что \( OK = 6 \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

6. Поскольку \( K \) — середина стороны основания, длина стороны основания равна \( a = 2 \cdot OK = 2 \cdot 3 = 6 \) см.

7. Периметр основания квадрата равен \( P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot SK \).

9. Подставляем значения: \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72 \) см².

10. Ответ: площадь боковой поверхности равна 72 см².