ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды.

Основание — прямоугольник со сторонами 6 и 8, диагональ \( AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \). Точка \( O \) — середина диагонали, \( AO = \frac{10}{2} = 5 \).

В треугольнике \( SOC \) угол между боковым ребром \( SC \) и основанием 60°, значит \(\tan 60^\circ = \frac{SO}{AO}\).

Подставляем: \(\sqrt{3} = \frac{SO}{5}\), откуда \( SO = 5 \sqrt{3} \).

1. Основание пирамиды — прямоугольник с длинами сторон 8 см и 6 см.

2. Вычислим диагональ основания \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) см.

3. Точка \( O \) — середина диагонали \( AC \), значит \( AO = \frac{10}{2} = 5 \) см.

4. Поскольку боковые ребра образуют с плоскостью основания угол 60°, рассмотрим треугольник \( SOC \), где \( SO \) — высота пирамиды, а \( SC \) — боковое ребро.

5. Угол между боковым ребром \( SC \) и плоскостью основания равен 60°, значит в треугольнике \( SOC \) угол при основании \( O \) равен 60°.

6. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует, что \( \tan 60^\circ = \frac{SO}{AO} \).

7. Подставим известные значения: \( \sqrt{3} = \frac{SO}{5} \).

8. Выразим высоту пирамиды: \( SO = 5 \sqrt{3} \) см.

9. Таким образом, высота пирамиды равна \( 5 \sqrt{3} \) см.

10. Ответ: \( SO = 5 \sqrt{3} \) см.