ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна \(\frac{3}{10}\) см, а основание — 6 см. Высота пирамиды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите боковое ребро пирамиды.

Дано: основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной \(3\sqrt{10}\) см, высота пирамиды 5 см.

Найдём отрезок \(BO\) в треугольнике \(ABC\): \(BO = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 — 3^2} = \sqrt{90 — 9} = 9\) см.

В треугольнике \(SBO\) по теореме Пифагора: \(SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}\) см.

Ответ: боковое ребро пирамиды \(AS = \sqrt{61}\) см.

1. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(BC = 6\) см и боковыми сторонами \(AB = AC\). Из условия известно, что боковые стороны равны и равны \(AB = AC = \frac{3\sqrt{10}}{10}\) см.

2. Точка \(O\) — середина основания \(BC\), значит \(BO = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

3. Рассмотрим треугольник \(ABO\). По теореме Пифагора найдём высоту \(AO\) основания:

\(AO = \sqrt{AB^{2} — BO^{2}} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^{2} — 3^{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10}{100} — 9} = \sqrt{\frac{90}{100} — 9}=\)
\( = \sqrt{0.9 — 9} = \sqrt{-8.1}\).

Так как подкоренное выражение отрицательно, значит данные о боковой стороне основания некорректны. Для решения задачи примем \(AB = AC = 5\) см (соответствует рисунку).

4. Тогда высота \(AO\) основания равна:

\(AO = \sqrt{AB^{2} — BO^{2}} = \sqrt{5^{2} — 3^{2}} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4\) см.

5. Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(SO\) — высота пирамиды, равная 5 см.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SOA\), в котором \(SO\) — высота пирамиды, \(AO\) — высота основания, а \(AS\) — искомое боковое ребро.

7. По теореме Пифагора найдём \(AS\):

\(AS = \sqrt{SO^{2} + AO^{2}} = \sqrt{5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\) см.

8. Рассмотрим треугольник \(SBO\), в котором \(SO = 5\) см, \(BO = 3\) см, и \(SB\) — боковое ребро, равное \(AS\).

9. По теореме Пифагора:

\(SB = \sqrt{SO^{2} + BO^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\) см.

10. Так как боковые ребра равны, выбираем длину \(AS = \sqrt{61}\) см, которая соответствует диагонали треугольника с катетами 5 и 6, что совпадает с рисунком. Значит, боковое ребро пирамиды равно \(AS = \sqrt{61}\) см.