ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2) высоту пирамиды.

Основание — прямоугольный треугольник с сторонами 5, 12, 13, так как \(5^2 + 12^2 = 13^2\).

Проекция \(OK = \frac{5 + 12 — 13}{2} = 2\) см.

Из условия косинуса угла \(30^\circ\): \(\cos 30^\circ = \frac{OK}{DK}\), значит \(DK = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.

Площадь боковой поверхности \(S = \frac{1}{2} \cdot (5 + 12 + 13) \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\) см².

Высота пирамиды \(DO = \frac{1}{2} DK = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) см.

1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Проверяем, что это прямоугольный треугольник: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). Значит, угол между сторонами 5 и 12 равен \(90^\circ\).

2. Найдём проекцию точки \(O\) на сторону \(BC\), обозначим её \(K\). По формуле для проекции: \(OK = \frac{AB + BC — AC}{2} = \frac{5 + 12 — 13}{2} = 2\) см.

3. Из условия известно, что двугранный угол при ребре основания равен \(30^\circ\). Рассмотрим треугольник \(DKO\), где \(D\) — вершина пирамиды, \(K\) — точка на основании. По определению косинуса: \(\cos 30^\circ = \frac{OK}{DK}\), следовательно \(DK = \frac{OK}{\cos 30^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.

4. Периметр основания равен \(P = 5 + 12 + 13 = 30\) см.

5. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему \(DK\): \(S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\) см².

6. Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим треугольник \(DOK\). Высота \(DO\) — это катет треугольника, противолежащий углу \(30^\circ\). По свойствам прямоугольного треугольника: \(DO = DK \cdot \sin 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: площадь боковой поверхности \(20\sqrt{3}\) см², высота пирамиды \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) см.