ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 18.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Площадь треугольника \( S_{\text{ок}} \) находится по формуле:

\( S_{\text{ок}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos \angle SKO} = \frac{\frac{4 + 16}{2} \cdot 8}{\frac{1}{2}} = 160 \, \text{см}^2 \).

Полупериметр треугольника:

\( p = \frac{4 + 16 + 10 + 10}{2} = 20 \).

Используя формулу площади через полупериметр и радиус вписанной окружности \( SK \):

\( 160 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot SK \Rightarrow SK = \frac{320}{40} = 8 \).

Длина стороны \( SO \) вычисляется из синуса угла \( \angle SKO = 60^\circ \):

\( SO = SK \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \).

Для начала найдем площадь треугольника \( SKO \) через площадь основания и угол при вершине \( K \). Из условия известно, что площадь основания равна \( S_{\text{осн}} = \frac{4 + 16}{2} \times 8 \). Это выражение получается как площадь трапеции с основаниями 4 и 16 и высотой 8. Далее, чтобы получить площадь треугольника \( SKO \), нужно разделить площадь основания на косинус угла \( \angle SKO \), который равен \( 60^\circ \). Формула для площади треугольника в этом случае будет выглядеть так: \( S_{\text{ок}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos \angle SKO} = \frac{\frac{4 + 16}{2} \cdot 8}{\frac{1}{2}} = 160 \, \text{см}^2 \).

Следующий шаг — найти радиус вписанной окружности \( SK \) в треугольник. Для этого сначала вычисляем полупериметр \( p \) треугольника, складывая все стороны и деля сумму на два: \( p = \frac{4 + 16 + 10 + 10}{2} = 20 \). Затем используем формулу площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности: \( S = p \cdot r \), где \( r \) — радиус вписанной окружности. Подставляем известные значения: \( 160 = 20 \cdot SK \), откуда \( SK = \frac{160}{20} = 8 \).

Наконец, вычисляем длину стороны \( SO \), используя отношение синуса угла \( \angle SKO \). Угол \( \angle SKO \) равен \( 60^\circ \), следовательно, \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Длина \( SO \) равна произведению радиуса \( SK \) и синуса угла: \( SO = SK \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \). Таким образом, все искомые величины найдены с использованием основных тригонометрических и геометрических формул.